Valor atteso v.a continue
Buona sera 
ho a che fare con un problema che mi sta dando parecchie noie...
Sia $Y=\Gamma(alpha,lambda)$. Calcolare $E(Ye^(-2Y))$
Ora io so che dovrei mettere una bozza di soluzione(l ho sempre fatto a volte scrivendo anche sciocchezze
) ma il problema è che questa volta non riesco proprio a partire. Mi piacerebbe capire lo svolgimento anche perchè l esercizio a seguire è molto simile(almeno ad occhio)----> "$X=N(0,1)$.Calcolare $E(X^3e^((mu)X))$ $mu>0$". Magari quest'ultimo lo svolgerò da solo,anche per capire se ho capito e posto la soluzione qui o in un altro topic per mantenere il giusto ordine 
..
Grazie come sempre a chi mi aiuterà
ho a che fare con un problema che mi sta dando parecchie noie...
Sia $Y=\Gamma(alpha,lambda)$. Calcolare $E(Ye^(-2Y))$
Ora io so che dovrei mettere una bozza di soluzione(l ho sempre fatto a volte scrivendo anche sciocchezze
) ma il problema è che questa volta non riesco proprio a partire. Mi piacerebbe capire lo svolgimento anche perchè l esercizio a seguire è molto simile(almeno ad occhio)----> "$X=N(0,1)$.Calcolare $E(X^3e^((mu)X))$ $mu>0$". Magari quest'ultimo lo svolgerò da solo,anche per capire se ho capito e posto la soluzione qui o in un altro topic per mantenere il giusto ordine ..Grazie come sempre a chi mi aiuterà
Risposte
mah c'è poco da fare...devi calcolare il valore atteso partendo dalla definizione. Non è molto difficile.
Si tratta di calcolare
$E(g(X))=int g(x)f(x)dx$
Questa definizione è nota con l'acronimo LOTUS, Law Of The Unconscious Statistician
Premessa: quando si parla di distribuzioni Gamma occorre specificare se il parametro $lambda$ è il rate oppure scale parameter....assumiamo che sia il "rate".
Per la definizione di media abbiamo
$E(Ye^{-2Y})=\int_0^{oo}ye^{-2y}\lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$
Si tratta semplicemente di ricondurre l'integranda al nucleo di una nuova densità gamma (con diversi parametri) portando fuori tutto ciò che non ti interessa
Se sei in difficoltà ti mostro come fare ma è molto molto semplice
Ma sì dai....ecco come fare
$\int_0^{oo}ye^{-2y}\lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy=lambda^alpha/(Gamma(alpha))( Gamma(alpha+1))/(lambda+2)^(alpha+1)\underbrace{int_0^(oo) (lambda+2)^(alpha+1)/(Gamma(alpha+1)) y^[(alpha+1)-1]e^(-(lambda+2)y)dy}_{=1}=(alpha lambda^alpha)/(lambda+2)^(alpha+1)$
Si tratta di calcolare
$E(g(X))=int g(x)f(x)dx$
Questa definizione è nota con l'acronimo LOTUS, Law Of The Unconscious Statistician
Premessa: quando si parla di distribuzioni Gamma occorre specificare se il parametro $lambda$ è il rate oppure scale parameter....assumiamo che sia il "rate".
Per la definizione di media abbiamo
$E(Ye^{-2Y})=\int_0^{oo}ye^{-2y}\lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$
Si tratta semplicemente di ricondurre l'integranda al nucleo di una nuova densità gamma (con diversi parametri) portando fuori tutto ciò che non ti interessa
Se sei in difficoltà ti mostro come fare ma è molto molto semplice
Ma sì dai....ecco come fare
$\int_0^{oo}ye^{-2y}\lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy=lambda^alpha/(Gamma(alpha))( Gamma(alpha+1))/(lambda+2)^(alpha+1)\underbrace{int_0^(oo) (lambda+2)^(alpha+1)/(Gamma(alpha+1)) y^[(alpha+1)-1]e^(-(lambda+2)y)dy}_{=1}=(alpha lambda^alpha)/(lambda+2)^(alpha+1)$
Stasera torno a casa e provo a farlo partendo dal tuo consiglio. Magari se non riesco te lo dico. Per quanto riguarda il parametro $lambda$ non entra nello specifico..Ho fatto un copia ed incolla del testo dell'esercizio dato dal prof nelle sue dispense...
Gentilissimo come sempre tommik
Gentilissimo come sempre tommik
ho messo anche la soluzione con tutti i passaggi. Puoi usare una parametrizzazione o l'altra...magari non ha dettagliato la parametrizzazione della Gamma perché ve ne ha fatta vedere solo una.
Per l'altro esercizio, apri un nuovo topic.
Quindi usa la definizione come nell'esempio precedente, manipola opportunamente l'esponente[nota]questo post può esserti molto utile in quanto il metodo è praticamente lo stesso[/nota] in modo da trovare come integranda il momento terzo di un'altra gaussiana e calcoli tale momento con la FGM (cosa che devi saper fare visto che recentemente hai postato alcuni esercizi proprio su questo argomento)...oppure si può calcolare l'integrale per parti ma, a prima vista, mi pare un po' rognoso.
Facendo i conti MOLTO frettolosamente mi viene, con $mu>0$
Prova anche tu e confrontiamo i risultati
Per l'altro esercizio, apri un nuovo topic.
Quindi usa la definizione come nell'esempio precedente, manipola opportunamente l'esponente[nota]questo post può esserti molto utile in quanto il metodo è praticamente lo stesso[/nota] in modo da trovare come integranda il momento terzo di un'altra gaussiana e calcoli tale momento con la FGM (cosa che devi saper fare visto che recentemente hai postato alcuni esercizi proprio su questo argomento)...oppure si può calcolare l'integrale per parti ma, a prima vista, mi pare un po' rognoso.
Facendo i conti MOLTO frettolosamente mi viene, con $mu>0$
$E(X^3 e^(mu X))=e^(mu^2/2)(mu^3+3mu)$
Prova anche tu e confrontiamo i risultati
Comunque questa LOTUS non è stata affrontata nel corso ma è stato posto un esercizio che comunque sfrutta la sua definizione.Come è possibile? :S Però grazie ne farò tesoro sicuramente.
Una curiosità personale,sperando di non essere troppo invadente(se lo sono chiedo scusa e puoi far finta di nulla) . In cosa sei laureato? Fai il professore?
''''''''''''''''''''''''
Ho modificato il post perchè non avevo letto la risposta. Aprirò un nuovo topic e farò il confronto. Grazie ancora
Una curiosità personale,sperando di non essere troppo invadente(se lo sono chiedo scusa e puoi far finta di nulla
) . In cosa sei laureato? Fai il professore?''''''''''''''''''''''''
Ho modificato il post perchè non avevo letto la risposta. Aprirò un nuovo topic e farò il confronto. Grazie ancora
Sono laureato in Economia e Commercio, ho circa 60 anni e sono un Quadro amministrativo ( resp controllo gestione) in un 'Azienda
LOTUS non ve l'avranno chiamata cosi ma sicuramente
$E[g(X)]= int g(x)f_X(x)dx$
L'hai vista per forza
LOTUS non ve l'avranno chiamata cosi ma sicuramente
$E[g(X)]= int g(x)f_X(x)dx$
L'hai vista per forza
Per la cronaca non avevo mai visto l'acronimo LOTUS prima di oggi ma è bellissimo.
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