V.a distribuita uniformemente su un trapezio
Salve ragazzi sto preparando da solo un esame di probabilità e volevo chiedervi una mano su quest'esericizio. So che è banale ma non sono sicuro di due passaggi.
"Sia (X,Y) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul trapezio R di vertici (−1,0),(0,2),(1,0),(1,2). Determinare le densità marginali e la densità di Z=Y−X"
Ho determinato il dominio che dovrebbe essere { $ 0<= y<= 2 $ e $ y/2-1<= x<= 1 $ }, ora però vorrei capire che forma ha la densità congiunta f(x,y) dato che dice ha distribuzione uniforme su questo dominio. Inoltre non so dove mettere le mani per calcolare la densità di Z=Y-X.
Ringrazio in anticipo tutti quelli che mi daranno una mano.
"Sia (X,Y) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul trapezio R di vertici (−1,0),(0,2),(1,0),(1,2). Determinare le densità marginali e la densità di Z=Y−X"
Ho determinato il dominio che dovrebbe essere { $ 0<= y<= 2 $ e $ y/2-1<= x<= 1 $ }, ora però vorrei capire che forma ha la densità congiunta f(x,y) dato che dice ha distribuzione uniforme su questo dominio. Inoltre non so dove mettere le mani per calcolare la densità di Z=Y-X.
Ringrazio in anticipo tutti quelli che mi daranno una mano.
Risposte
Buongiorno Bruno....meglio bruno che onurb (IMHO)....anche perché B.R.U.N.O. è il mio miglior amico:
Bayesian
Rational
Utility maximizer
Neutral to risk
Operator.
Ciò premesso, se la densità è uniforme su quel trapezio, la densità congiunta altro non è che il reciproco dell'area, ovvero
$f_(XY)(x,y)=1/3 mathbb(1)_([0;2])(y)mathbb(1)_([y/2-1;1])(x)$
Per il calcolo della distribuzione della variabile $Z=Y-X$ basta usare la definizione
$F_(Z)(z)=mathbb{P}[Z<=z]=mathbb{P}[Y<=X+z]$
Al variare di $z in [-1;2]$ con semplici calcoli trovi
$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<=-1 ),( (z+1)^2/6 , ;-1<=z<1 ),( 1-(2-z)^2/3 , 1<=z<2 ),( 1 , ;z>=2 ) :}$
Derivi e trovi la densità cercata.
Per le densità marginali basta integrare la congiunta su tutto il dominio dell'altra variabile...data la banalità dell'operazione ti lascio procedere da solo...
Per maggiori dettagli sulle operazioni effettuate puoi guardare qui sul forum e troverai centinaia di esercizi simili che ho spiegato e risolto nei dettagli
Bayesian
Rational
Utility maximizer
Neutral to risk
Operator.
Ciò premesso, se la densità è uniforme su quel trapezio, la densità congiunta altro non è che il reciproco dell'area, ovvero
$f_(XY)(x,y)=1/3 mathbb(1)_([0;2])(y)mathbb(1)_([y/2-1;1])(x)$
Per il calcolo della distribuzione della variabile $Z=Y-X$ basta usare la definizione
$F_(Z)(z)=mathbb{P}[Z<=z]=mathbb{P}[Y<=X+z]$
Al variare di $z in [-1;2]$ con semplici calcoli trovi
$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<=-1 ),( (z+1)^2/6 , ;-1<=z<1 ),( 1-(2-z)^2/3 , 1<=z<2 ),( 1 , ;z>=2 ) :}$
Derivi e trovi la densità cercata.
Per le densità marginali basta integrare la congiunta su tutto il dominio dell'altra variabile...data la banalità dell'operazione ti lascio procedere da solo...
Per maggiori dettagli sulle operazioni effettuate puoi guardare qui sul forum e troverai centinaia di esercizi simili che ho spiegato e risolto nei dettagli
Grazie mille davvero!
Se possibile vorrei chiederti un'ultima cosa. Nel calcolo di F(z), che sto provando a fare graficamente facendo variare la retta $ z=y-x $ nel domino fornito, come faccio ad esprimere sia la variabile x che y in funzione di z? Nel senso, per z compreso tra -1 e 1,ad esempio, vedo che l'area sottesa è un triangolo, dunque l' area sarà data da $ (yxxx)/2 $ , $ y=x+z $ , dunque $ A=((x+z)xx x)/2 $. Come esprimo anche $ x $ in funzione di $ z $ per ottenere la tua stessa funzione? Se il metodo usato da te è diverso sono tutt orecchi per un consiglio.
Grazie ancora!
Se possibile vorrei chiederti un'ultima cosa. Nel calcolo di F(z), che sto provando a fare graficamente facendo variare la retta $ z=y-x $ nel domino fornito, come faccio ad esprimere sia la variabile x che y in funzione di z? Nel senso, per z compreso tra -1 e 1,ad esempio, vedo che l'area sottesa è un triangolo, dunque l' area sarà data da $ (yxxx)/2 $ , $ y=x+z $ , dunque $ A=((x+z)xx x)/2 $. Come esprimo anche $ x $ in funzione di $ z $ per ottenere la tua stessa funzione? Se il metodo usato da te è diverso sono tutt orecchi per un consiglio.
Grazie ancora!
(click per ingrandire l'immagine)
Questo è il grafico in questione. Quando $z<1$ l'area di interesse è il triangolo viola della prima immagine che ha base ed altezza pari a $1-(-z)=z+1$ e quindi la FdR è $(z+1)^2/2 1/3$ mentre quando $z>1$ l'area di interesse sarebbe il pentagono sotto la retta, ma viene più comodo calcolare il complementare dell'area del triangolo viola dell'immagine di destra. Il triangolino, come si vede ha base $(2-z)$ ed altezza $2(2-z)$ e quindi la FdR viene
$[3-((2-z)2(2-z))/2]1/3=1-(2-z)^2/3$
Come vedi bastano semplici ragionamenti geometrici per risolvere il tutto
Per le marginali, a conti fatti, dovresti trovarti così:
$f_Y(y)=(2/3-y/6)mathbb{1}_([0;2])(y)$
$f_X(x)={{: ( 2/3+2/3x , ;-1<=x<0 ),( 2/3 , ;0<=x<=1 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$
Questo è il grafico in questione. Quando $z<1$ l'area di interesse è il triangolo viola della prima immagine che ha base ed altezza pari a $1-(-z)=z+1$ e quindi la FdR è $(z+1)^2/2 1/3$ mentre quando $z>1$ l'area di interesse sarebbe il pentagono sotto la retta, ma viene più comodo calcolare il complementare dell'area del triangolo viola dell'immagine di destra. Il triangolino, come si vede ha base $(2-z)$ ed altezza $2(2-z)$ e quindi la FdR viene
$[3-((2-z)2(2-z))/2]1/3=1-(2-z)^2/3$
Come vedi bastano semplici ragionamenti geometrici per risolvere il tutto
Per le marginali, a conti fatti, dovresti trovarti così:
$f_Y(y)=(2/3-y/6)mathbb{1}_([0;2])(y)$
$f_X(x)={{: ( 2/3+2/3x , ;-1<=x<0 ),( 2/3 , ;0<=x<=1 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$
Non so davvero come ringraziarti! Grazie infinte!!
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