V.a. discrete con densità congiunta particolare

[feddy]

Testo:
Siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete la cui legge congiunta è

\( p_{X,Y}(h,k)=C\frac{1}{h!k!} \)

Si determini

i) Il valore di $C$ tale per cui è ua densità
ii)Trova le marginali di $X$ e $Y$. Sono indipendenti?
iii)Si calcoli la legge di $X$ condizionata a $X+Y=n$. Si tratta di una distribuzione nota?

Risoluzione:

i) $C=e^{-2}$, poiché la sommatoria deve essere uguale a $1$, affinché sia una densità

ii) La marginale di $X$ si ottiene facendo $p_X(h)=sum_{k=0}^{\infty}e^{-2}\frac{1}{h!k!}=e^{-1}/(h!)$
Analogamente per $Y$ si trova che $p_Y(k)=e^{-1}/(k!)$.

Si vede subito che sono indipendenti poiché il prodtto delle marginali è uguale alla loro densità congiunta.

iii) E' il punto che mi ha messo più in difficoltà.
Per prima cosa, tramite la convoluzione discreta mi sono calcolato la distribuzione di $X+Y$: $p_{X+Y}(z)=\sum_{h=0}^{\infty}p_X(h)p_Y(z-h)=...=(e^{-2}2^z)/(z!)$ Quindi $X+Y - P o(2)$

Mi viene richiesto di calcolare $p_{X|X+Y=n}$. Ora, per la teoria, dovrei fare $\frac{p_{X|X+Y=n}}{p_{X+Y=n}}$. Equivalentemente, $(\mathbb{P}(X=h;X+Y=n))/(\mathbb{P}(X+Y=n))$. Ora mi viene da supporre che $X=h$ e $X+Y=n$ non siano indipendenti e quindi la probabilità diventa $(\mathbb{P}(X=h\cap Y=n-h))/(\mathbb{P}(X+Y=n))=(e^{-2}/((n-h)!h!))/(e^{-2}2^n/(n!))$ \( = \binom{n}{h} 1/2^{n} \) , che non mi sembra essere una distribuzione a me nota... dove sbaglio ?

Grazie per l'attenzione

[Lo_zio_Tom]

E' tutto giusto.

$((n),(h))(1/2)^n $ con $h=0,1,...,n $ è una binomiale, in particolare una $B (n,1/2) $

[feddy]

Tutto chiaro ! A una certa ora non mi conviene postare domande , non mi sono nemmeno accorto fosse una binomiale Grazie tommik