Urne e palline con proposta di soluzione
Salve a tutti, la problematica è la seguente:
Abbiamo tre urne che sono indistinguibili dall'esterno. Sappiamo che una delle tre contiene tre palline bianche e dodici nere, un'altra contiene cinque palline bianche e dieci nere e la terza contiene dieci palline bianche e cinque nere.
Scegliamo a caso una delle tre urne e ci aggiungiamo due palline bianche e due nere. Mescoliamo bene e ne estraiamo una, che risulta nera.
Qual è la probabilità che l'estrazione sia avvenuta dalla prima urna?
Allora la mia idea è quella di applicare la formula di Bayes due volte.
Siano $U_1$, $U_2$, $U_3$ le urne iniziali, ognuna con probabilità di pescata $1/3$.
Siano, ora, $V_1$, $V_2$, $V_3$ le urne di prima alle quali ho aggiunto due palline bianche e due nere. (Le ho aggiunte a tutte, non so se questo possa intaccare la generalità del problema).
Ora vado a calcolarmi la $P(V_1|N)$ Questa rappresenta la probabilità di aver pescato da $V_1$ sapendo che l'estratto è nero.
Ora per calcolarmi questa probabilità con la formula di Bayes mi servono le probabilità delle urne modificate, ovvero $P(V_1)$, $P(V_2)$ e $P(V_3)$, a mio parere queste probabilità non possono essere più $1/3$, visto che so che è uscita una pallina nera, allora dico che la $P(V_1)=P(U_1|N)$, ovvero che la probabilità di pescata da $V_1$ è uguale alla probabilità che ho di pescare da $U_1$ sapendo che è uscita una pallina nera, e faccio il calcolo con Bayes, e così per le altre probabilità.
Vorrei sapere, cortesemente, se questo ragionamento sia in qualche modo corretto.
Vi ringrazio
Abbiamo tre urne che sono indistinguibili dall'esterno. Sappiamo che una delle tre contiene tre palline bianche e dodici nere, un'altra contiene cinque palline bianche e dieci nere e la terza contiene dieci palline bianche e cinque nere.
Scegliamo a caso una delle tre urne e ci aggiungiamo due palline bianche e due nere. Mescoliamo bene e ne estraiamo una, che risulta nera.
Qual è la probabilità che l'estrazione sia avvenuta dalla prima urna?
Allora la mia idea è quella di applicare la formula di Bayes due volte.
Siano $U_1$, $U_2$, $U_3$ le urne iniziali, ognuna con probabilità di pescata $1/3$.
Siano, ora, $V_1$, $V_2$, $V_3$ le urne di prima alle quali ho aggiunto due palline bianche e due nere. (Le ho aggiunte a tutte, non so se questo possa intaccare la generalità del problema).
Ora vado a calcolarmi la $P(V_1|N)$ Questa rappresenta la probabilità di aver pescato da $V_1$ sapendo che l'estratto è nero.
Ora per calcolarmi questa probabilità con la formula di Bayes mi servono le probabilità delle urne modificate, ovvero $P(V_1)$, $P(V_2)$ e $P(V_3)$, a mio parere queste probabilità non possono essere più $1/3$, visto che so che è uscita una pallina nera, allora dico che la $P(V_1)=P(U_1|N)$, ovvero che la probabilità di pescata da $V_1$ è uguale alla probabilità che ho di pescare da $U_1$ sapendo che è uscita una pallina nera, e faccio il calcolo con Bayes, e così per le altre probabilità.
Vorrei sapere, cortesemente, se questo ragionamento sia in qualche modo corretto.
Vi ringrazio
Risposte
ci ho messo un'ora a leggere il tutto e non ti nascondo che ho fatto pure un po' di fatica a seguirti....non vedo che problemi ci siano, basta applicare il teorema di bayes.
$P(U_(1)|N)=(P(U_(1) nn N))/(P(N))=(1/3 14/19)/(1/3 14/19+1/3 12/19+1/3 7/19)=(3\cdot19)/(3\cdot19)14/33=14/33$
fine
$P(U_(1)|N)=(P(U_(1) nn N))/(P(N))=(1/3 14/19)/(1/3 14/19+1/3 12/19+1/3 7/19)=(3\cdot19)/(3\cdot19)14/33=14/33$
fine
Bene!
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