Urne e moneta non equa
Due scatole A e B contengono 2 palline ciascuna. Si lancia una moneta con prob. di testa
1/3 e se viene testa si toglie una pallina da A, mentre se escecroce si toglie una pallina da B. Si continua
a lanciare la moneta finché una delle due scatole resta vuota. Detta X la v.a. “numero di palline rimaste
nell'altra scatola” determinare:
1-i possibili valori assunti dalla X
2-le rispettive probabilità
Sinceramente non so come gestire questa variabile aleatoria... ma per quanto ho capito credo che X possa assumere soltanto i valori 1 e 2, giusto? Per le probabilità avevo pensato di distinguere due casi per ogni valore di X, cioé il caso in cui esca testa e quello in cui esca croce.
$P(X=1|T)=(P(X=1 nn T)) / (P(T))$
$P(X=2|T)=(P(X=2 nn T)) / (P(T))$
$P(X=1|C)=(P(X=1 nn C)) / (P(C))$
$P(X=2|C)=(P(X=2 nn C)) / (P(C))$
giusto il ragionamento? ma non so calcolare il numeratore in tutti e quattro i casi...
1/3 e se viene testa si toglie una pallina da A, mentre se escecroce si toglie una pallina da B. Si continua
a lanciare la moneta finché una delle due scatole resta vuota. Detta X la v.a. “numero di palline rimaste
nell'altra scatola” determinare:
1-i possibili valori assunti dalla X
2-le rispettive probabilità
Sinceramente non so come gestire questa variabile aleatoria... ma per quanto ho capito credo che X possa assumere soltanto i valori 1 e 2, giusto? Per le probabilità avevo pensato di distinguere due casi per ogni valore di X, cioé il caso in cui esca testa e quello in cui esca croce.
$P(X=1|T)=(P(X=1 nn T)) / (P(T))$
$P(X=2|T)=(P(X=2 nn T)) / (P(T))$
$P(X=1|C)=(P(X=1 nn C)) / (P(C))$
$P(X=2|C)=(P(X=2 nn C)) / (P(C))$
giusto il ragionamento? ma non so calcolare il numeratore in tutti e quattro i casi...
Risposte
Direi che la soluzione è questa:
1 - si, gli eventi possibili sono: $X=1$ ed $X=2$
2 - si ha:
$P(X=1)=4/9$ in questo caso sono necessari 3 lanci
$P(X=2)=5/9$ in questo caso sono sufficenti 2 lanci
non è richiesto di specificare se la scatola non vuota è la A o la B ma si può fare tranquillamente:
$P(X=2|B)=1/9$ $P(X=2|A)=4/9$
$P(X=1|B)=4/27$ $P(X=1|A)=8/27$
inoltre
$P(X=1,2|B)=7/27$ $P(X=1,2|A)=20/27$
Penso che la soluzione sia corretta, sicuramente c'è una strada formale come quella che cercavi tu ma io ho usato solo un po di logica. Se non ti è chiaro chiedi.
* non è specificato nel problema, ma è già un ottimo motivo per ipotizzare lanci indipendenti; e così ho fatto.
1 - si, gli eventi possibili sono: $X=1$ ed $X=2$
2 - si ha:
$P(X=1)=4/9$ in questo caso sono necessari 3 lanci
$P(X=2)=5/9$ in questo caso sono sufficenti 2 lanci
non è richiesto di specificare se la scatola non vuota è la A o la B ma si può fare tranquillamente:
$P(X=2|B)=1/9$ $P(X=2|A)=4/9$
$P(X=1|B)=4/27$ $P(X=1|A)=8/27$
inoltre
$P(X=1,2|B)=7/27$ $P(X=1,2|A)=20/27$
Penso che la soluzione sia corretta, sicuramente c'è una strada formale come quella che cercavi tu ma io ho usato solo un po di logica. Se non ti è chiaro chiedi.
* non è specificato nel problema, ma è già un ottimo motivo per ipotizzare lanci indipendenti; e così ho fatto.
grazie la risposta! Effettivamente non ho capito delle cose. Tu hai trovato $P(X=1)$ e $P(X=2)$... ma non ho capito come. NEl senso.. la loro probabilità non dovrebbe dipendere da quale scatola stiamo parlando? Perché l'estrazione di una pallina da una delle due urne ha probabilità diversa, non sono equiprobabili. Quindi io pensavo che $P(X=1)$ nel caso di A sia diverso dal caso di B, e così anche per $P(X=2)$.
"matitti":
... Tu hai trovato $ P(X=1) $ e $ P(X=2) $... ma non ho capito come. NEl senso.. la loro probabilità non dovrebbe dipendere da quale scatola stiamo parlando?
No ! O meglio:
la domanda era
"matitti":
Detta X la v.a. “numero di palline rimaste nell'altra scatola” determinare:
1-i possibili valori assunti dalla X
2-le rispettive probabilità
è la domanda a richiedere l'indistinguibilità rispetto alla scatola
"matitti":
Quindi io pensavo che $ P(X=1) $ nel caso di A sia diverso dal caso di B, e così anche per $ P(X=2) $.
Infatti è così. Ma questo non influenza la risposta, ... però guida la ricerca della soluzione.
Per questo ho proseguito nella spiegazione
"markowitz":
non è richiesto di specificare se la scatola non vuota è la A o la B ma si può fare tranquillamente:
proprio per non lasciare una risposta criptica.
Le prob. condizionali che ho scritto (sembra quasi che tu non le abbia viste) riassumono i principali eventi che si possono considerare. E' un po come avere una tabella. Ricorda che sono eventi disgiunti, ergo li puoi sommare.
E quindi come hai calcolato $P(X=1)=4/9$ e $P(X=2)=5/9$, cioè che conti hai effettuato?
Ragiona un attimo sulle prob condizionali che ho scritto, il conto è banale.
ho capito... nel $P(X=1)=P(X=1|B)+P(X=1|A)$ allora guarda... l'ultima domanda, so che sto assillando ma sono davvero in crisi... $P(X=1|B)$ intende che A è rimasta con una pallina, quindi è uscita una testa e due croci, quindi la sua probabilità l'hai calcolata $1/3 * 2/3 * 2/3$?
"matitti":
... l'ultima domanda, so che sto assillando ma sono davvero in crisi...
tranquillo
"matitti":
$ P(X=1|B) $ intende che A è rimasta con una pallina,
no, intendo la prob che B sia rimasta con una pallina
"matitti":
quindi è uscita una testa e due croci, quindi la sua probabilità l'hai calcolata $ 1/3 * 2/3 * 2/3 $?
no, altrimenti sarebbe la A a restare con una pallina
effettivamente è un punto che porta a confusione, ma le moltiplicazioni tipo quella che scrivi valgono per i casi con 2 lanci, per quelli a 3 c'è bisogno di un passaggio logico in più.
E' un esercizio che si risolve con strumenti semplici ma l'impostazione logica non è proprio banale, per questo è interessante
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