Urna e Biglie
Buongiorno, sono nuovo e chiedo umilmente aiuto 
Sto preparando un esame di statistica (psicometria) e tra i vari esercizi questo proprio non mi viene...
Un’urna contiene 86 biglie numerate da 1 a 86. Si estraggono casualmente 13 biglie, con reinserimento. Calcolare il valore atteso e la varianza della media dei numeri estratti.
Ringrazio tutti fin d'ora, e Buon proseguimento!
(aiutatemi, vi prego!)
AB
p.s. se al posto di "varianza della media" trovassi "varianza della somma"????????
Sto preparando un esame di statistica (psicometria) e tra i vari esercizi questo proprio non mi viene...
Un’urna contiene 86 biglie numerate da 1 a 86. Si estraggono casualmente 13 biglie, con reinserimento. Calcolare il valore atteso e la varianza della media dei numeri estratti.
Ringrazio tutti fin d'ora, e Buon proseguimento!
(aiutatemi, vi prego!)
AB
p.s. se al posto di "varianza della media" trovassi "varianza della somma"????????
Risposte
Proviamo a ragionare in questo modo: le biglie sono numerate quindi estrarre una biglia corrisponde alla realizzazione di una v.a. uniforme discreta (ovviamente definita tra 1 e 86), poi si estraggono altre biglie nello stesso modo e a noi interessa la loro media.
Se chiamiamo $X_i$ la v.a. uniforme associata all'estrazione i-esima calcolare la media significa questo: $M=1/13sum_(i=1)^13 X_i$, quindi per risolvere il problema occorre studiare la v.a. $M$ funzione delle singole $X_i$.
Nel caso della somma il ragionamento è simile: basta definire la variabile $S=sum_(i=1)^13 X_i$
Se chiamiamo $X_i$ la v.a. uniforme associata all'estrazione i-esima calcolare la media significa questo: $M=1/13sum_(i=1)^13 X_i$, quindi per risolvere il problema occorre studiare la v.a. $M$ funzione delle singole $X_i$.
Nel caso della somma il ragionamento è simile: basta definire la variabile $S=sum_(i=1)^13 X_i$
Grazie mille, Walter!
Quello che però non riesco a capire sono proprio i passaggi algebrici...
Cioè:
- Valore Atteso: (86+1)/2=43.5 (ok)
- Varianza della media: può essere (????) (1+2+3+4+5+.......+86)/13=?
Perdonami, ma non trovo dei "passaggi sensati" per arrivare al risultato (47.4038).
Ti ringrazio fin d'ora, e perdona la mia totale ignoranza in materia (pur studiandola da un pezzo!)
AB
Quello che però non riesco a capire sono proprio i passaggi algebrici...
Cioè:
- Valore Atteso: (86+1)/2=43.5 (ok)
- Varianza della media: può essere (????) (1+2+3+4+5+.......+86)/13=?
Perdonami, ma non trovo dei "passaggi sensati" per arrivare al risultato (47.4038).
Ti ringrazio fin d'ora, e perdona la mia totale ignoranza in materia (pur studiandola da un pezzo!)
AB
il tutto si può risolvere applicando le proprietà del valore atteso e della varianza per funzioni di variabili aleatorie, precisamente:
$E[aX+b]=aE[X]+b$
$Var[aX+b]=a^2Var[X]$
Nel tuo caso quindi per calcolare la varianza di $M$ quindi fai così:
$Var[M]=Var[1/13 sum_(i=1)^13X_i]=1/13^2 sum_(i=1)^13Var[X_i]=1/13Var[X_i]$
dove ho usato prima il fatto che le v.a. $X_i$ sono indipendenti e poi che hanno tutte la stessa varianza. Se sostituisci la varianza della uniforme dovresti ottenere il risultato giusto
$E[aX+b]=aE[X]+b$
$Var[aX+b]=a^2Var[X]$
Nel tuo caso quindi per calcolare la varianza di $M$ quindi fai così:
$Var[M]=Var[1/13 sum_(i=1)^13X_i]=1/13^2 sum_(i=1)^13Var[X_i]=1/13Var[X_i]$
dove ho usato prima il fatto che le v.a. $X_i$ sono indipendenti e poi che hanno tutte la stessa varianza. Se sostituisci la varianza della uniforme dovresti ottenere il risultato giusto
Anche se sono un caso disperato, non ho capito, e a sto punto prenderò ripetizioni,
GRAZIE INFINITE.
(per la tempestività, e per averci provato)
AB
GRAZIE INFINITE.
(per la tempestività, e per averci provato)
AB
di solito non è buona norma aprire altri post quindi possiamo proseguire qui
Cosa non ti è chiaro di quei passaggi? Hai già provato a lavorare con funzioni di variabili aleatorie o è tutto nuovo?
Cosa non ti è chiaro di quei passaggi? Hai già provato a lavorare con funzioni di variabili aleatorie o è tutto nuovo?
Non nuovo, ma poco pratico (e un pò leso) sì!
Allora: se il problema fosse questo:
"Se si lancia un dado regolare per 10 volte, quali sono il valore atteso e la varianza della media dei valori ottenuti? [3.5, 0.29167]"
Non ci sarebbe alcun problema. Perchè: gli x_i sono (1,2,3,4,5,6), le loro probabilità (1/6,2/6,3/6,4/6,5/6,6/6) quindi E(X)=3,5=media, trovo gli scarti (-2.5, -1.5, -0.5, ....) li metto al quadrato, sommo e divido per 6. TA-DAN! Varianza della media=2,916666667.
Riguardo all'urna, quale varianza di quale media trovo se c'ho una sola stramaledetta possibilità su 86??
Grazie.
Allora: se il problema fosse questo:
"Se si lancia un dado regolare per 10 volte, quali sono il valore atteso e la varianza della media dei valori ottenuti? [3.5, 0.29167]"
Non ci sarebbe alcun problema. Perchè: gli x_i sono (1,2,3,4,5,6), le loro probabilità (1/6,2/6,3/6,4/6,5/6,6/6) quindi E(X)=3,5=media, trovo gli scarti (-2.5, -1.5, -0.5, ....) li metto al quadrato, sommo e divido per 6. TA-DAN! Varianza della media=2,916666667.
Riguardo all'urna, quale varianza di quale media trovo se c'ho una sola stramaledetta possibilità su 86??
Grazie.
in realtà se il dado è regolare le probabilità sono tutte $1/6$
Comunque partiamo dall'inizio: abbiamo un'urna con 86 palline numerate (di fatto puoi benissimo ragionare come se fosse un dado a 86 facce) e ne estraiamo 13 rimettendole nell'urna. Il fatto di rimettere le palline nell'urna significa che l'urna torna sempre quella iniziale e ogni estrazione sarà uguale alla precedente quindi faremo 13 estrazioni dello stesso tipo. L'altro fatto che dovrebbe essere ovvio è che tutte le palline hanno la stessa probabilità di essere estratte, precisamente $1/86$
Come ho già detto prima per procedere è utile modellizzare il tutto con delle variabili aleatorie: allora diciamo che una singola estrazione $X_i$ è una v.a. uniforme discreta su $(1,86)$. Di queste $X_i$ puoi trovare la rispettiva media e varianza che sono $E[X_i]=43.5$ e $Var[X_i]=602.08$, se sostituisci nelle formule che ti ho scritto sopra ottieni la soluzione.
Comunque partiamo dall'inizio: abbiamo un'urna con 86 palline numerate (di fatto puoi benissimo ragionare come se fosse un dado a 86 facce) e ne estraiamo 13 rimettendole nell'urna. Il fatto di rimettere le palline nell'urna significa che l'urna torna sempre quella iniziale e ogni estrazione sarà uguale alla precedente quindi faremo 13 estrazioni dello stesso tipo. L'altro fatto che dovrebbe essere ovvio è che tutte le palline hanno la stessa probabilità di essere estratte, precisamente $1/86$
Come ho già detto prima per procedere è utile modellizzare il tutto con delle variabili aleatorie: allora diciamo che una singola estrazione $X_i$ è una v.a. uniforme discreta su $(1,86)$. Di queste $X_i$ puoi trovare la rispettiva media e varianza che sono $E[X_i]=43.5$ e $Var[X_i]=602.08$, se sostituisci nelle formule che ti ho scritto sopra ottieni la soluzione.
A parte il fatto che 602,08/13 non fa 47.4038 bensì 46.3138. Ma quello su cui per l'ultima volta proverò ad interrogarti è: quel 602.08 da dove lo ricavi??
(lo so, sempre di passaggi parlo, ma saprai meglio di me che nella matematica, la logica trova il suo terreno più fertile, quindi, come fai a spiegarmi ciò attraverso formule con altre forme, dati senza la loro provenienza, risultati senza la loro derivazione logica??? Cioè, sto chiedendo "come ci arrivo e perchè?", non "come farei altrimenti?" o "cos'è questa formula?").
Ti chiedo troppo se domando di ripropormi in questa forma -
il nostro problema??
(lo so, sempre di passaggi parlo, ma saprai meglio di me che nella matematica, la logica trova il suo terreno più fertile, quindi, come fai a spiegarmi ciò attraverso formule con altre forme, dati senza la loro provenienza, risultati senza la loro derivazione logica??? Cioè, sto chiedendo "come ci arrivo e perchè?", non "come farei altrimenti?" o "cos'è questa formula?").
Ti chiedo troppo se domando di ripropormi in questa forma -
Perchè: gli x_i sono (1,2,3,4,5,6), le loro probabilità (1/6,2/6,3/6,4/6,5/6,6/6) quindi E(X)=3,5=media, trovo gli scarti (-2.5, -1.5, -0.5, ....) li metto al quadrato, sommo e divido per 6. TA-DAN! Varianza della media=2,916666667.
il nostro problema??
Non ho seguito il resto, ma la varianza della media (47,403846..) la ottieni semplicemente dalla sommatoria di $(43,5-i)^2$ per i da 1 a 86, che è = 52997,5 diviso 86, che è = 616,25 dividendo ancora per 13.
CHE DIO TI BENEDICA, Nino_!!!
E ultima domanda: ciò vuol dire che in un'ipotetica tabella io devo fare 86 righe e calcolarmi 86 scarti semplici e altrettanti quadratici?????
Grazie, grazie, grazie!
E ultima domanda: ciò vuol dire che in un'ipotetica tabella io devo fare 86 righe e calcolarmi 86 scarti semplici e altrettanti quadratici?????
Grazie, grazie, grazie!
Se hai excel, qui ti spiega come fare facilmente il calcolo
http://lavoroefinanza.soldionline.it/co ... ml#steps_3
http://lavoroefinanza.soldionline.it/co ... ml#steps_3
il punto è proprio quello: nei casi come questo fare i conti a mano è piuttosto laborioso...
o si utilizza un pc oppure esistono le formule di cui ti ho parlato in cui fai tutto a mano in pochi passaggi, la strada giusta devi sceglierla tu in base alle indicazioni dell'insegnante o al contesto in cui ti trovi
o si utilizza un pc oppure esistono le formule di cui ti ho parlato in cui fai tutto a mano in pochi passaggi, la strada giusta devi sceglierla tu in base alle indicazioni dell'insegnante o al contesto in cui ti trovi
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