Urna con reimbussolamento

[19Elektra92]

Ciao a tutti,
Spero di scrivere il tutto in maniera corretta secondo le regole del forum.

Sto risolvendo un problema di probabilità ma non riesco ad ottenere il risultato che dice il libro di testo.

Il problema è il seguente:
Da un'urna che contiene palline di tre colori diversi in proporzioni uguali vengono estratte 4 palline con reimbussolamento. Qual è la probabilità che tra di esse ce ne sia almeno una di ogni colore?

Io ho provato ad utilizzare alcuni ragionamenti diversi:
1) dato che si tratta di reimbussolamento ho considerato il fatto che segue una legge binomiale B(n,p) con p=1/3, considerando che devo trovare una coppia di due colori uguali, ma non mi convince per niente:
$ \p(k=2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}*p^2*(1-p)^(4-2) $
Ma ottengo
$ \p(k=2)=6*(2/9)^2 $
Che è sbagliato

2) ho pensato che i casi che mi interessano sono quelli in cui 3 palline sono diverse e l'ultima è uguale ad una delle altre tre
$ \p(verde)+p(rossa)+p(gialla)^2 $
Supponendo di prendere la gialla due volte e otterrei:
$ \1/3+1/3+1/9=7/9 $

Il risultato corretto è $ \4/9 $

Grazie dell'aiuto!!

[Lo_zio_Tom]

"19Elektra92":
Da un'urna che contiene palline di tre colori diversi in proporzioni uguali
1) dato che si tratta di reimbussolamento ho considerato il fatto che segue una legge binomiale B(n,p) con p=1/3,

ma ci sono 3 colori diversi, non due.....quindi non proprio una binomiale....ma quasi


$(4!)/(2!)(1/3)^4\cdot3=4/9$

[19Elektra92]

Grazie infinite tommik!!
Scusami la domanda,
Non è che potresti dirmi il ragionamento che hai utilizzato?

[Lo_zio_Tom]

dato che ci sono 3 colori (con reimmissione) non è una binomiale ma una trinomiale.

$((4),(1;1;2))(1/3)^1(1/3)^1(1/3)^2=(4!)/(1! 1! 2!)1/3^4$

ma si possono avere i seguenti 3 casi

1-1-2
1-2-1
2-1-1

e quindi devi moltiplicare il risultato per 3

[19Elektra92]

Grazie mille!! Ora mi è chiaro!!