Una ragazza di nome Ada
Calcolare la probabilità che in una famiglia di due figli, di cui una è femmina e si chiama Ada, ci
siano due figlie femmine.
Chiamiamo gli eventi possibili “figlia femmina non Ada” $F_{\bar{Ada}}$, “figlia femmina Ada”, $F_{Ada}$, e
“figlio maschio” M e poniamo per ipotesi
• P(M) = 1/2, $P(F_{Ada}) = η$
• η ∈ (0, 1/2) e
• $P(F_{\bar{Ada}}) = 1/2 − η$
Utilizzando la formula di Bayes calcolare in funzione di η la distribuzione a posteriori dell’evento
{($F_{\bar{Ada}}$,$F_{Ada}$),($F_{Ada}$,$F_{\bar{Ada}}$)}: P( $F_{\bar{Ada}}$ $F_{Ada}$|$F_{Ada}$) + P($F_{Ada}$ $F_{\bar{Ada}}$|$F_{Ada}$).
Io ho fatto cosi:
Sembra che la prima richiesta non implichi il parametro η, se è cosi, questo esercizio è stato fatto a lezione in questo modo:
Consideriamo lo spazio degli eventi condizionato dall'avere una figlia Ada:
$I = {(M,A),(A,M), (\bar{A},A), (A,\bar{A}), (A,A)}$
Trascurando la probabilità che si possa dare lo stesso nome a due figli diversi:
$ P(A\bar{A}|A) + P(\bar{A}A|A) = \frac{1}{2}$
Per quanto riguarda la parte 2:
$P(A \bar{A} | A) = \frac{P(A|A \bar{A})P(A \bar{A})}{P(A)} = \frac{1}{4η}$
dove ho considerato ancora $P(A \bar{A}) = \frac{1}{4}$ (non sono sicuro sia cosi)
Similmente si può fare per $P(\bar{A} A| A) = \frac{1}{4η}$
E dunque:
$P(\bar{A} A| A) + P(A \bar{A} | A) = \frac{1}{2η}$
Vi sembra corretto?
siano due figlie femmine.
Chiamiamo gli eventi possibili “figlia femmina non Ada” $F_{\bar{Ada}}$, “figlia femmina Ada”, $F_{Ada}$, e
“figlio maschio” M e poniamo per ipotesi
• P(M) = 1/2, $P(F_{Ada}) = η$
• η ∈ (0, 1/2) e
• $P(F_{\bar{Ada}}) = 1/2 − η$
Utilizzando la formula di Bayes calcolare in funzione di η la distribuzione a posteriori dell’evento
{($F_{\bar{Ada}}$,$F_{Ada}$),($F_{Ada}$,$F_{\bar{Ada}}$)}: P( $F_{\bar{Ada}}$ $F_{Ada}$|$F_{Ada}$) + P($F_{Ada}$ $F_{\bar{Ada}}$|$F_{Ada}$).
Io ho fatto cosi:
Sembra che la prima richiesta non implichi il parametro η, se è cosi, questo esercizio è stato fatto a lezione in questo modo:
Consideriamo lo spazio degli eventi condizionato dall'avere una figlia Ada:
$I = {(M,A),(A,M), (\bar{A},A), (A,\bar{A}), (A,A)}$
Trascurando la probabilità che si possa dare lo stesso nome a due figli diversi:
$ P(A\bar{A}|A) + P(\bar{A}A|A) = \frac{1}{2}$
Per quanto riguarda la parte 2:
$P(A \bar{A} | A) = \frac{P(A|A \bar{A})P(A \bar{A})}{P(A)} = \frac{1}{4η}$
dove ho considerato ancora $P(A \bar{A}) = \frac{1}{4}$ (non sono sicuro sia cosi)
Similmente si può fare per $P(\bar{A} A| A) = \frac{1}{4η}$
E dunque:
$P(\bar{A} A| A) + P(A \bar{A} | A) = \frac{1}{2η}$
Vi sembra corretto?
Risposte
Non capisco perchè in $\Omega$ non hai considerato l'evento $\bar{A}\bar{A}$
Se lo metto nello spazio degli eventi: $P(\bar{A} \bar{A}) = (\frac{1}{2} - \eta)^2$
Poi non vorrei sbagliarmi, ma dovrebbe essere: $P(\bar{A} A) = \eta (\frac{1}{2} - \eta)$
Cosi facendo viene la normalizzazione a 1.
Se lo metto nello spazio degli eventi: $P(\bar{A} \bar{A}) = (\frac{1}{2} - \eta)^2$
Poi non vorrei sbagliarmi, ma dovrebbe essere: $P(\bar{A} A) = \eta (\frac{1}{2} - \eta)$
Cosi facendo viene la normalizzazione a 1.
"Dracmaleontes":
E dunque:
$ \frac{1}{2η}$
Vi sembra corretto?
No, non ho controllato tutti i passaggi ma, avendo posto $eta in (0;0.5)$ ti viene sempre una probabilità maggiore di uno.
Nel mio post precedente sono stato troppo frettoloso. Ecco la risposta corretta.
Gli eventi possibili sono evidentemente 8
$Omega={MM;MA;AM;M bar(A);bar(A)M;A bar(A);bar(A) A;bar(A) bar(A)}$
Pongo $P(M)=P(F)=0.5$ e probabilità di chiamarsi Ada $\mathbb{ P}(\text(Ada)|F)=theta$ con $theta in(0;1]$
Ovviamente
$\mathbb{P}[A]=\mathbb(P)(F)xx\mathbb(P)(\text(Ada)|F)=theta/2$
$\mathbb{P}[bar(A)]=\mathbb(P)(F)xx\mathbb(P)(bar(\text(Ada))|F)=(1-theta)/2$
la probabilità degli 8 eventi dello spazio campionario sono, rispettivamente, le seguenti
${1/4;\theta/4;theta/4;(1-theta)/4;(1-theta)/4;theta/4;(theta(1-theta))/4;(1-theta)^2/4}$
la probabilità condizionata richiesta è pertanto (1/4 è contenuto ovunque quindi lo tralascio)
$(\mathbb(P)(A bar(A))+\mathbb(P)(bar(A)A))/(\mathbb(P)(A bar(A))+\mathbb(P)(bar(A)A)+\mathbb(P)(MA)+\mathbb(P)(AM))=(theta+theta(1-theta))/(2theta+theta+theta(1-theta))=(2-theta)/(4-theta)$
ovviamente
$mathbb{P}(A bar(A)) ne\mathbb{ P}(bar(A)A)$
in quanto se la primogentita si chiama Ada la secondogenita si chiamerà Non Ada con probabilità 1. Se invece la prima si chiama Adalgisa allora la seconda ha probabiltà $theta$ (e la fortuna) di chiamarsi Ada.
Grazie, credo di aver capito, ma nell'ultimo passaggio usi Bayes?
Sì...il teorema di Bayes è semplicemente la definizione di probabilità condizionata.
Capisco, grazie ancora.
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