Una condizionata e il suo valore atteso
Salve a tutti, ho una domanda riguardante la soluzione di un quesito che ho trovato su alcuni esercizi che fanno riferimento al metodo della massima verosimiglianza.
Spero possiate darmi una mano... Vi scrivo quale è il problema e come sto procedendo io per risolverlo...
Allora ho un vettore ($x_i,y_i$) di determinazioni indipendenti da una variabile casuale bivariata (X,Y) che ha densità:
f(x,y;$\alpha$,$\beta$)=$1/(sqrt(2*pi*beta*x^2)$*$exp{-1/2*(y-apha*x)^2/(beta*x^2)-x}$
con $\alpha$ e $\beta$ parametri da stimare.
Una volta scritta la funzione di verosimiglianza ho ottenuto le stime dei parametri.
In pratica $\alpha$ è risultato pari a $\hat alpha$=$sum_{i=1}^n y_i$/ $sum_{i=1}^n x_i$ e devo valutare se sia o meno distorto questo stimatore.
Come potrei procedere avendo la funzione di densità congiunta? mentre lo stimatore è il rapporto tra le due variabili casuali?
Io avevo pensato di lavorare considerando che $\alpha$ è la distrbuzione condizionata Y/X. A questo punto potrei considerare che essendo determinazioni indipendenti allora la funzione congiunta(che mi è stata data) si può ottenere come prodotto della funzione di densità congiunta per la funzione di densità marginale di una delle due variabili (o X oppure Y) e quindi determinare direttamente la funzione di distribuzione condizionata previo il calcolo della densità marginale di Y.
Ma ci sarebbe un modo più semplice che non preveda il calcolo della distribuzione marginale di una delle due variabili?...
Grazie anticipatamente.
Spero possiate darmi una mano... Vi scrivo quale è il problema e come sto procedendo io per risolverlo...
Allora ho un vettore ($x_i,y_i$) di determinazioni indipendenti da una variabile casuale bivariata (X,Y) che ha densità:
f(x,y;$\alpha$,$\beta$)=$1/(sqrt(2*pi*beta*x^2)$*$exp{-1/2*(y-apha*x)^2/(beta*x^2)-x}$
con $\alpha$ e $\beta$ parametri da stimare.
Una volta scritta la funzione di verosimiglianza ho ottenuto le stime dei parametri.
In pratica $\alpha$ è risultato pari a $\hat alpha$=$sum_{i=1}^n y_i$/ $sum_{i=1}^n x_i$ e devo valutare se sia o meno distorto questo stimatore.
Come potrei procedere avendo la funzione di densità congiunta? mentre lo stimatore è il rapporto tra le due variabili casuali?
Io avevo pensato di lavorare considerando che $\alpha$ è la distrbuzione condizionata Y/X. A questo punto potrei considerare che essendo determinazioni indipendenti allora la funzione congiunta(che mi è stata data) si può ottenere come prodotto della funzione di densità congiunta per la funzione di densità marginale di una delle due variabili (o X oppure Y) e quindi determinare direttamente la funzione di distribuzione condizionata previo il calcolo della densità marginale di Y.
Ma ci sarebbe un modo più semplice che non preveda il calcolo della distribuzione marginale di una delle due variabili?...
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao slash,
questo mi pare molto simile all'esercizio precedente;
Per caso in questo esercizio hai
$Y|X$ è $N(\alpha x , \beta x^2)$
$X$ è $Esp(1)$
?
Comunque a me lo stimatore che hai scritto viene diverso;
come hai ottenuto quello?
questo mi pare molto simile all'esercizio precedente;
Per caso in questo esercizio hai
$Y|X$ è $N(\alpha x , \beta x^2)$
$X$ è $Esp(1)$
?
Comunque a me lo stimatore che hai scritto viene diverso;
come hai ottenuto quello?
Ehi DajeForte grazie per la risposta anzitutto.
Per quanto riguarda l'esercizio ho soltanto la distribuzione congiunta che è quella che ho scritto.
Per ottenere lo stimatore ho considerato che la log verosimiglianza mi veniva:
l($\alpha*x$,$\beta*x^2$)=- $n/2log(beta*x^2)-1/(2beta*x^2)*sum(y-alpha*x)^2-x$
da cui poi derivando rispetto ad $\alpha$ e $\beta$ e controllando(verificando il segno della derivata seconda) ottengo lo stimatore che ho scritto.
Tuttavia non escludo (visto che neanche a me mi convince poi tanto) che lo stimatore che ho trovato non sia giusto poichè non ho scritto bene la funzione di verosimiglianza e di conseguenza anche la funzione di log verosimiglianza.
La funzione di verosimiglianza a me veniva in questo modo:
L($\alpha$,$\beta$)= $\prod_{i=1}^n f(x_i,y_i)$=$ (1/sqrt(2*pi*beta*x^2))^n*exp{-1/(2*beta*x^2)*sum_{i=1}^n (y-alpha*x)^2-x}
per cui poi avevo una log-verosimiglianza come quella che ti avevo scritto su.
Tu cosa ti ritrovi?!...
Grazie.
Per quanto riguarda l'esercizio ho soltanto la distribuzione congiunta che è quella che ho scritto.
Per ottenere lo stimatore ho considerato che la log verosimiglianza mi veniva:
l($\alpha*x$,$\beta*x^2$)=- $n/2log(beta*x^2)-1/(2beta*x^2)*sum(y-alpha*x)^2-x$
da cui poi derivando rispetto ad $\alpha$ e $\beta$ e controllando(verificando il segno della derivata seconda) ottengo lo stimatore che ho scritto.
Tuttavia non escludo (visto che neanche a me mi convince poi tanto) che lo stimatore che ho trovato non sia giusto poichè non ho scritto bene la funzione di verosimiglianza e di conseguenza anche la funzione di log verosimiglianza.
La funzione di verosimiglianza a me veniva in questo modo:
L($\alpha$,$\beta$)= $\prod_{i=1}^n f(x_i,y_i)$=$ (1/sqrt(2*pi*beta*x^2))^n*exp{-1/(2*beta*x^2)*sum_{i=1}^n (y-alpha*x)^2-x}
per cui poi avevo una log-verosimiglianza come quella che ti avevo scritto su.
Tu cosa ti ritrovi?!...
Grazie.
Ciao slash,
c'è un errore infatti.
Dove fai l'esponenziale nella funzione di verosimiglianza tu hai scritto:
$exp(-1/(2 \beta x^2) sum (text(eccetra)))$;
ma $x$ è un dato campionario che dipende da $i$ (è $x_i$) non lo puoi portare fuori dalla sommatoria.
c'è un errore infatti.
Dove fai l'esponenziale nella funzione di verosimiglianza tu hai scritto:
$exp(-1/(2 \beta x^2) sum (text(eccetra)))$;
ma $x$ è un dato campionario che dipende da $i$ (è $x_i$) non lo puoi portare fuori dalla sommatoria.
Quindi la log-verosimiglianza dovrebbe essere scritta come:
l($\alpha$,$\beta$)= $(-n/2*ln(beta*x^2)*-1/2*sum_{i=1}^n ((y-alpha*x)^2/(beta*x^2)-x)$
giusto?...
Tuttavia anche se fosse scritta in questo modo, derivando poi rispetto ad alpha a me viene la stessa cosa, ovvero:
$ hat alpha$= $ (sum_{i=1}^n y_i)/(sum_{i=1}^n x_i)$
che ne dici?
Provo a rivedermi i calcoli.
Grazie.
l($\alpha$,$\beta$)= $(-n/2*ln(beta*x^2)*-1/2*sum_{i=1}^n ((y-alpha*x)^2/(beta*x^2)-x)$
giusto?...
Tuttavia anche se fosse scritta in questo modo, derivando poi rispetto ad alpha a me viene la stessa cosa, ovvero:
$ hat alpha$= $ (sum_{i=1}^n y_i)/(sum_{i=1}^n x_i)$
che ne dici?
Provo a rivedermi i calcoli.
Grazie.
noi abbiamo
$f(x_i,y_i;\alpha , \beta ) = 1/(sqrt(2 pi beta x_i^2)) \quad exp{-1/(2) \quad (y_i- \alpha x_i)^2/(\beta x_i^2) - x_i}
con indipendenza in $i$
$f((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n);\alpha , \beta)\quad = \quad \prod_(i=1)^n f(x_i,y_i;\alpha , \beta ) =$
$= \quad (2 pi)^(-n/2) \quad (\beta)^(-n/2) \quad prod_(i=1)^n (x_i^(-1)) \quad exp{ \sum_(i=1)^n [-1/2((y_i- \alpha x_i)^2)/(\beta x_i^2) - x_i]}$.
Ora il log di f è
$log(f) \quad = \quad -n/2 \quad log(2 pi) - n/2 \quad log(\beta) - sum_(i=1)^n log(x_i) - \quad 1/(2 \beta) sum_(i=1)^n ((y_i-\alpha x_i)^2)/(x_i^2)-sum_(i=1)^n x_i$.
Se tu ora derivi rispettoad $\alpha$ ottieni:
$-1/(2 \beta) sum_(i=1)^n (y_i-\alpha x_i)/(x_i^2) (-2 x_i) \quad = \quad 1/\beta sum_(i=1)^n (y_i-\alpha x_i)/(x_i)$.
Imponendola uguale a $0$ ti viene
$\hat \alpha \quad = \quad 1/n sum_(i=1)^n y_i/x_i$
Mi pare di avere fatto giusto (non ho fatto i conti prima su carta e poi ricopiati ma li ho fatti direttamente su latex ed è + facile fare errore ma mi pare giusto)
$f(x_i,y_i;\alpha , \beta ) = 1/(sqrt(2 pi beta x_i^2)) \quad exp{-1/(2) \quad (y_i- \alpha x_i)^2/(\beta x_i^2) - x_i}
con indipendenza in $i$
$f((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n);\alpha , \beta)\quad = \quad \prod_(i=1)^n f(x_i,y_i;\alpha , \beta ) =$
$= \quad (2 pi)^(-n/2) \quad (\beta)^(-n/2) \quad prod_(i=1)^n (x_i^(-1)) \quad exp{ \sum_(i=1)^n [-1/2((y_i- \alpha x_i)^2)/(\beta x_i^2) - x_i]}$.
Ora il log di f è
$log(f) \quad = \quad -n/2 \quad log(2 pi) - n/2 \quad log(\beta) - sum_(i=1)^n log(x_i) - \quad 1/(2 \beta) sum_(i=1)^n ((y_i-\alpha x_i)^2)/(x_i^2)-sum_(i=1)^n x_i$.
Se tu ora derivi rispettoad $\alpha$ ottieni:
$-1/(2 \beta) sum_(i=1)^n (y_i-\alpha x_i)/(x_i^2) (-2 x_i) \quad = \quad 1/\beta sum_(i=1)^n (y_i-\alpha x_i)/(x_i)$.
Imponendola uguale a $0$ ti viene
$\hat \alpha \quad = \quad 1/n sum_(i=1)^n y_i/x_i$
Mi pare di avere fatto giusto (non ho fatto i conti prima su carta e poi ricopiati ma li ho fatti direttamente su latex ed è + facile fare errore ma mi pare giusto)
Ho rincontrollato e sì è così...ora mi ritrovo con i tuoi calcoli...tuttavia ora dovrei valutare varianza e valore atteso dello stimatore e come dicevo prima ho la congiunta e non la funzione di densità delle singole variabili.
Potrei supporre come hai scritto anche tu che la funzione di densità condizionata Y/X è normale di parametri ($\alpha*x$,$\beta*x^2$) e la funzione di densità di X è esponenziale di parametro 1.
Se così fosse potrei dire che siccome Y/X$\sim$ $N(alphax,betax^2)$ allora il valore atteso di $hat alpha$ è dato da:
$E( hat alpha)$= $1/n*sum_{i=1}^n y_i/x_i$= $1/n*n*E(alpha*x)=
e considerando che X$\sim$ Exp(1) allora il suo valore atteso è pari ad 1 e quindi:
$E( hat alpha)= alpha$
e quindi risulta non distorto.
Potrei supporre come hai scritto anche tu che la funzione di densità condizionata Y/X è normale di parametri ($\alpha*x$,$\beta*x^2$) e la funzione di densità di X è esponenziale di parametro 1.
Se così fosse potrei dire che siccome Y/X$\sim$ $N(alphax,betax^2)$ allora il valore atteso di $hat alpha$ è dato da:
$E( hat alpha)$= $1/n*sum_{i=1}^n y_i/x_i$= $1/n*n*E(alpha*x)=
e considerando che X$\sim$ Exp(1) allora il suo valore atteso è pari ad 1 e quindi:
$E( hat alpha)= alpha$
e quindi risulta non distorto.
Ti rispondo frettolosamente che devo uscire;
non sono sicuro che tu possa supporre così;
però se ipotizzassi di costruirti un problema parallelo a partine dalla distribuzione di $Y|X$ e $X$ definite come sopra le densità ti verrebbero uguali;
quindi penso di si ma non ne sono sicuro.
Lo stimatore viene corretto però non ho molto capito che passaggi hai fatto;
così a naso anche se l'esponenziale fosse di parametro diverso da 1 verrebbe corretto.
Adesso esco,
posta i risultati che stasera gli do un'occhiata.
Ciao
non sono sicuro che tu possa supporre così;
però se ipotizzassi di costruirti un problema parallelo a partine dalla distribuzione di $Y|X$ e $X$ definite come sopra le densità ti verrebbero uguali;
quindi penso di si ma non ne sono sicuro.
Lo stimatore viene corretto però non ho molto capito che passaggi hai fatto;
così a naso anche se l'esponenziale fosse di parametro diverso da 1 verrebbe corretto.
Adesso esco,
posta i risultati che stasera gli do un'occhiata.
Ciao
Ciao DajeForte...
i risultati sono quelli che ti avevo postato, ovvero ho supposto che $X/Y$ sia distribuita come una normale $N(alpha*x_i, beta*x_i^2$) per cui per calcolare il valore atteso del mio stimatore $alpha$ per concludere circa la sua correttezza ho semplicemente applicato la definizione di stimatore corretto, cioè:
$E(hat alpha)$ = $1/n* E(sum_{i=1}^n X_i/Y_i)$= tiro fuori n dalla sommatoria per cui:
$1/n*nE(X/Y)$ e semplificando le "n" e considerando che il valore atteso di X/Y è $alpha*x_i$ e a sua volta che $X_i sim Exp(1)$ allora ottengo che :
$alphaE(X)= alpha*1$=$alpha$ e quindi lo stimatore è corretto.
Tuttavia sono consapevole che questo modo di procedere sia una forzatura...tu cosa mi consiglieresti di fare?
Secondo te dovrei calcolare la distribuzione condizionata di X/Y manualmente e poi determinarne il valore atteso?
Comunque grazie per il tuo aiuto e per gli utilissimi suggerimenti che mi hai fornito fin qui.
i risultati sono quelli che ti avevo postato, ovvero ho supposto che $X/Y$ sia distribuita come una normale $N(alpha*x_i, beta*x_i^2$) per cui per calcolare il valore atteso del mio stimatore $alpha$ per concludere circa la sua correttezza ho semplicemente applicato la definizione di stimatore corretto, cioè:
$E(hat alpha)$ = $1/n* E(sum_{i=1}^n X_i/Y_i)$= tiro fuori n dalla sommatoria per cui:
$1/n*nE(X/Y)$ e semplificando le "n" e considerando che il valore atteso di X/Y è $alpha*x_i$ e a sua volta che $X_i sim Exp(1)$ allora ottengo che :
$alphaE(X)= alpha*1$=$alpha$ e quindi lo stimatore è corretto.
Tuttavia sono consapevole che questo modo di procedere sia una forzatura...tu cosa mi consiglieresti di fare?
Secondo te dovrei calcolare la distribuzione condizionata di X/Y manualmente e poi determinarne il valore atteso?
Comunque grazie per il tuo aiuto e per gli utilissimi suggerimenti che mi hai fornito fin qui.
Le medie condizionate le conosci? Se no ti consiglio caldamente di dare unocchiata che sono molto importanti e comode.
Detto brevemente se tu hai due v.a. $X$ e $Y$ hai che $E[X]=E[E[X|Y]]$; in particolare $E[XY]=E[E[XY|Y]]$ ed essendo $Y$ Y-misurabile $E[XY|Y]=YE[X|Y]$
Questo discorso vale anche a livello di probabilità: la probabilità è uguale alla media delle probabilità condizionate.
Ora se $Y|X$ è la normale ed $X$ l'esponenziale $E[Y/X]=E[E[Y/X|X]]=E[1/XE[Y|X]]$
Lo stesso gioco puoi farlo per la varianza considerando che devi trovare la media dei quadrati.
Quindi non ti serve calcolare la distribuzione di $Y/X$ (Non ho capito poi come hai ottenuto che quella sia normale di media $alpha x_i$ e varianza $\beta x_i^2$.
Comunque anche qua ti puoi trovare la distribuzione utilizzando la probabilità condizionata, ovvero $P(Y/X
Detto brevemente se tu hai due v.a. $X$ e $Y$ hai che $E[X]=E[E[X|Y]]$; in particolare $E[XY]=E[E[XY|Y]]$ ed essendo $Y$ Y-misurabile $E[XY|Y]=YE[X|Y]$
Questo discorso vale anche a livello di probabilità: la probabilità è uguale alla media delle probabilità condizionate.
Ora se $Y|X$ è la normale ed $X$ l'esponenziale $E[Y/X]=E[E[Y/X|X]]=E[1/XE[Y|X]]$
Lo stesso gioco puoi farlo per la varianza considerando che devi trovare la media dei quadrati.
Quindi non ti serve calcolare la distribuzione di $Y/X$ (Non ho capito poi come hai ottenuto che quella sia normale di media $alpha x_i$ e varianza $\beta x_i^2$.
Comunque anche qua ti puoi trovare la distribuzione utilizzando la probabilità condizionata, ovvero $P(Y/X
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