Un terno al LOTTO!

[Gartin]

Ciao a tutti. Forse sono OT ma non sapevo dove altro postare questa mia domanda.
Il mio problema è effettivamente quello dei terni al Lotto. Più precisamente sto cercando una formula per calcolare l'n-simo terno, ossia: stabilito che 1-2-3 è il primo terno e che 88-89-90 è il 117480°, quale è il terno numero n? La formula alla quale sono giunto (e che non posto per non influenzare il vostro ragionamento) ha un neo: non è una semplice funzione di x, per cui non è molto immediata.
Grazie in anticipo a tutti.

[adaBTTLS1]

benvenuto nel forum.

questa è la sezione giusta se ti "accontenti" del calcolo "a ritroso", cioè dal terno $h-k-l$ ricavare $n$: qual è l'ordine di un terno?

temo che se vuoi trovare una "formula", certamente meno immediata, per individuare l'$n-"esimo"$ terno, forse la sezione più adatta potrebbe essere Informatica, per la ricerca di un algoritmo.

io ti scrivo il risultato contrario "immediato" e ti invito a postare il tuo.

$n=7832*h+88*k+l-8010$

ti torna?

ciao.

[Umby2]

"adaBTTLS":

ti torna?

ciao.

La formula penso che sia scorretta.
D'altronde basta applicarla al terno 88-89-90 per verificare che genera il risultato di 689.128 anzichè 117.480.

Volendo risolvere questo quesito partirei da uno piu semplice, quello di rifare lo stesso ragionamento applicato ad un ambo. Anche in questo caso la formula non è semplicissima.

Per l'ambo x, y (dove x < y )

n = ((180-x) /2 *(x-1)) + y - x

Esempio: Per l'ambo 34 70
((180-34) /2 * 33) +70 -34 = 2.445

Esempio: Per l'ambo 1 2
((180-1) /2 * 0) + 2 - 1 = 1 (infatti è il primo della serie)

Invece per l'ambo 89 90
((180-89) /2 * 88) + 90 - 89 = 4005 (infatti è l'ultimo su 4005 possibili ambi)


Bene... ora tocca al terno.

[adaBTTLS1]

sì, oltre ad aver trascurato alcuni casi, mi ero dimenticata dell'ordine, nel senso che il terzo numero deve essere necessariamente maggiore degli altri due.

scrivo la nuova formula per il terno, sperando che sia esatta:

il terno $h-k-l$ ha ordine $n=1/6 h^3 - 89/2 h^2 - 1/2 k^2 + 11881/3 h + 179/2 k + l - 4095$

fatemi sapere. ciao.

[Gartin]

Ciao ragazzi. Grazie per il benvenuto e per le risposte.
Credo che la formula di adaBTTLS continui ad avere qualche problema... tuttavia è proprio una formula di quel genere quella di cui sono alla ricerca.

[Gartin]

Bene... ora tocca al terno.

Ciao Umby. Anch'io sono partito dalla formula degli ambi per trovare quella dei terni...
Per ora sono giunto al seguente risultato:
dato il terno A;B;C, il suo numero d'ordine è dato da: 1/6 (A^3-267*A^2+23762*A) più il numero d'ordine dell'ambo (B;C) meno il numero d'ordine dell'ambo (A+1;A+2) più 1.
Il risultato credo che corretto ma bisogna eseguire tutti i calcoli e le semplificazioni per arrivare ad una formula più lineare.

[adaBTTLS1]

per l'ambo, io ho seguito un procedimento diverso da Umby (almeno credo), però ho ottenuto lo stesso risultato:
in forma polinomiale $n=-1/2h^2+179/2 h+k-90$
l'ultima mia formula del terno dovrebbe essere esatta. che cosa non ti convince?
anzi, è facilmente estendibile a quaterne e cinquine...
io l'ho ricavata con i coefficienti binomiali, e poi ho svolto i calcoli ... ho sbagliato più volte i calcoli, ma non credo nell'ultima versione.
fammi sapere, oppure trova un controesempio.
ciao.

[Gartin]

"adaBTTLS":per l'ambo, io ho seguito un procedimento diverso da Umby (almeno credo), però ho ottenuto lo stesso risultato:
in forma polinomiale $n=-1/2h^2+179/2 h+k-90$
l'ultima mia formula del terno dovrebbe essere esatta. che cosa non ti convince?
anzi, è facilmente estendibile a quaterne e cinquine...
io l'ho ricavata con i coefficienti binomiali, e poi ho svolto i calcoli ... ho sbagliato più volte i calcoli, ma non credo nell'ultima versione.
fammi sapere, oppure trova un controesempio.
ciao.

Ciao adaBTTLS. Ti devo delle scuse. Ero io a commettere un errore con la calcolatrice provando la formula per i terni. In realtà entrambe le formule sono perfette. Sarebbe interessante sapere cosa ne viene fuori per quaterne e cinquine.
Resta adesso il problema opposto: dato il numero ricavare il terno
Grazie.

[adaBTTLS1]

per la quaterna e la cinquina non ci sono problemi. per il problema opposto, come ti dicevo all'inizio, non credo sia un problema di calcolo combinatorio.
ti scrivo la formula per la quaterna, senza svolgere i calcoli ma lasciando indicati i coefficienti binomiali (spero di non sbagliarmi, non l'ho ancora trovata, ma è una banale estensione di quella per il terno):
siano $a,b,c,d in NN, 0<=a
$n=((a-1),(4))+((a-1),(3))*(91-a)+((a-1),(2))*((91-a),(2))+(a-1)*((91-a),(3))+1*((b-a-1),(3))+1*((b-a-1),(2))*(91-b)+1*(b-a-1)*((91-b),(2))+1*1*((c-b-1),(2))+1*1*(c-b-1)*(91-c)+1*1*1*(d-c-1)+1$

ciao.

[Umby2]

"Gartin":

Bene... ora tocca al terno.

Ciao Umby. Anch'io sono partito dalla formula degli ambi per trovare quella dei terni...
Per ora sono giunto al seguente risultato:
dato il terno A;B;C, il suo numero d'ordine è dato da: 1/6 (A^3-267*A^2+23762*A) più il numero d'ordine dell'ambo (B;C) meno il numero d'ordine dell'ambo (A+1;A+2) più 1.
Il risultato credo che corretto ma bisogna eseguire tutti i calcoli e le semplificazioni per arrivare ad una formula più lineare.

Interessante .... ma ho provato con la combinazione 1-2-3 e qualcosa non mi quadra (andrebbe corretto qualcosa)

Ho verificato quella di ADA, ed è perfetta. Molto lineare e deriva anche da un calcolo preciso.

A questo punto, con pochissime istruzioni, si potrebbe generare un programma che dato il numero ti sviluppa il terno. Si potrebbe fare anche in excel, anche se un po piu' complesso.

[Umby2]

"adaBTTLS":per l'ambo, io ho seguito un procedimento diverso da Umby (almeno credo), però ho ottenuto lo stesso risultato:
in forma polinomiale $n=-1/2h^2+179/2 h+k-90$

Perfetta.

Cmq, il mio calcolo è stato più empirico, non ricordando piu' i coefficienti binomiali.

[Gartin]

"Umby":[quote="Gartin"]

Bene... ora tocca al terno.

Ciao Umby. Anch'io sono partito dalla formula degli ambi per trovare quella dei terni...
Per ora sono giunto al seguente risultato:
dato il terno A;B;C, il suo numero d'ordine è dato da: 1/6 (A^3-267*A^2+23762*A) più il numero d'ordine dell'ambo (B;C) meno il numero d'ordine dell'ambo (A+1;A+2) più 1.
Il risultato credo che corretto ma bisogna eseguire tutti i calcoli e le semplificazioni per arrivare ad una formula più lineare.

Interessante .... ma ho provato con la combinazione 1-2-3 e qualcosa non mi quadra (andrebbe corretto qualcosa)
[/quote]

Hai ragione. La formula corretta è 1/6 ((A-1)^3-267*(A-1)^2+23762*(A-1)). Per cui ricapitolando i calcoli per il terno 1-2-3 sono i seguenti:

1/6*((0)^3-267*(0)^2+23762*(0))=0 + [ n°(B;C) = n°(2;3)=90 ] - [ n°(A+1;A+2)=(2;3)=90 ] +1 = 1

Consideriamo il terno 10;25;61 che è il 33211° (fatto al pc). Abbiamo

1/6*((10-1)^3-267*(10-1)^2+23762*(10-1))=32160 + [n°(B;C)=n°(25;61)=1896] - [n°(A+1;A+2)=n°(11;12)=846] +1 = 32160+1896-846+1=33211.

Credo di non aver sbagliato niente. Quindi sviluppando la formula per gli ambi e sommando a quella 1/6... ecc, si dovrebbe arrivare alla stessa formula di adaBTTLS.

PS. Come si fa a scrivere le formule come fate voi?

[adaBTTLS1]

da' un'occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
ciao.

[Gartin]

Ho capito come si fa, grazie.

prova=$1/6 ((A-1)^3-267*(A-1)^2+23762*(A-1))

[Gartin]

"adaBTTLS":da' un'occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
ciao.

Grazie... effettivamente è un po' più complicato di quanto avevo intuito io

[adaBTTLS1]

prego.

[Sk_Anonymous]

Mah! Non capisco tutto il lavoro fatto su questo topic.
In breve le formulette cercate si scrivono a colpo. Infatti, detti A, B, C, D, E numeri fra 1 e N, si ha
Ambo AB:
$(B-N)+\sum_{a=1}^{A}(N-a) =A [N-(A+1)/2]+B-N $, che coincide con la formula di Ada per N=90
Terno ABC:
$(C-N)+\sum_{a=1}^{A-1}\sum_{b=a+1}^{N-1}(N-b)+ \sum_{b=A+1}^{B}(N-b)= ((N),(3))-((N+1-A),(3))+(B-A)(N-\frac{B+A+1}{2}) + (C-N) $ , che non so se coincide con la formula di Ada (valida solo per N=90)
Quaterna ABCD:
$(D-N)+\sum_{a=1}^{A-1}\sum_{b=a+1}^{N-2}\sum_{c=b+1}^{N-1}(N-c)+....$
Cinquina ABCDE:
$(E-N)+\sum_{a=1}^{A-1}\sum_{b=a+1}^{N-3}\sum_{c=b+1}^{N-2}\sum_{d=c+1}^{N-1}(N-d)+...$
Non ho dato la somma esplicita per quaterne e cinquine perchè di tratta di calcoli faticosi ma banali (roba da chiodi!).
D'altro canto le formule suddette per quaterne e cinquine sono facilmente calcolabili tramite un computer, e, credo, molto meglio delle espressioni chilometriche date da Ada.
Come diceva Lord Brummel "L'eleganza innanzi tutto, ragazzi!"[asvg][/asvg]

[adaBTTLS1]

Mah! Non capisco tutto il lavoro fatto su questo topic.
......
Come diceva Lord Brummel "L'eleganza innanzi tutto, ragazzi!"

temo che se non lo capisci da solo noi non possiamo aiutarti!

[Sk_Anonymous]

Le mie formule, oltre ad essere facilmente computabili, hanno il pregio di indicare come ho ragionato per scriverle. E si tratta di un ragionamento semplice, immediatamente estensibile a sestine, eptine, octine, e chi più ne ha, più ne metta. La stessa cosa non mi pare possa dirsi per le espressioni ermetiche e chilometriche apparse in questo "topic". Concedi almeno che le mie formule sono esatte? O le ritieni indegne anche solo d'essere guardate?

[adaBTTLS1]

per "espressioni chilometriche" intendi LA SOLUZIONE AL PROBLEMA (quella dei terni, in forma polinomiale)?

il terno $h-k-l$ ha ordine $n=1/6 h^3 - 89/2 h^2 - 1/2 k^2 + 11881/3 h + 179/2 k + l - 4095$

oppure quella per l'ambo, sempre in forma polinomiale, buttata lì solo per confronto con la soluzione di Umby?
a tal proposito lascio la citazione perché dovrebbe spiegare molte cose:

"adaBTTLS":per l'ambo, io ho seguito un procedimento diverso da Umby (almeno credo), però ho ottenuto lo stesso risultato:
in forma polinomiale $n=-1/2h^2+179/2 h+k-90$
l'ultima mia formula del terno dovrebbe essere esatta. che cosa non ti convince?
anzi, è facilmente estendibile a quaterne e cinquine...
io l'ho ricavata con i coefficienti binomiali, e poi ho svolto i calcoli ... ho sbagliato più volte i calcoli, ma non credo nell'ultima versione.
fammi sapere, oppure trova un controesempio.
ciao.

oppure ti riferisci a quelle che NON erano le formule, ma solo la dimostrazione del meccanismo che avrebbe portato a scrivere abbastanza agevolmente le formule per quaterna e cinquina?
è chiaro, anche queste si possono estendere a stringhe di lunghezza qualsiasi, ma siccome sono applicate ad un alfabeto di 90 caratteri, penso che per la forma esplicita ci si possa fermare anche a 5 (o 6 o 7 se vuoi vedere il superenalotto o altro, io non me ne intendo, visto che non gioco!). anche di questo intervento ti lascio la citazione:

"adaBTTLS":per la quaterna e la cinquina non ci sono problemi. per il problema opposto, come ti dicevo all'inizio, non credo sia un problema di calcolo combinatorio.
ti scrivo la formula per la quaterna, senza svolgere i calcoli ma lasciando indicati i coefficienti binomiali (spero di non sbagliarmi, non l'ho ancora trovata, ma è una banale estensione di quella per il terno):
siano $a,b,c,d in NN, 0<=a
$n=((a-1),(4))+((a-1),(3))*(91-a)+((a-1),(2))*((91-a),(2))+(a-1)*((91-a),(3))+1*((b-a-1),(3))+1*((b-a-1),(2))*(91-b)+1*(b-a-1)*((91-b),(2))+1*1*((c-b-1),(2))+1*1*(c-b-1)*(91-c)+1*1*1*(d-c-1)+1$

ciao.

io non voglio dire né che le tue formule siano sbagliate né che non siano "eleganti". contesto la frase che "innanzitutto" va considerata l'eleganza.
e la chiarezza dove la mettiamo? e la facilità di calcolo per i "giocatori" non addetti ai lavori non la consideri?

ebbene, io considererò elegante fino al punto di essere migliore della chiarezza della prima formula che ti ho presentato qui una formula, con l'imprinting delle tue, che sia svincolata sia dai numeri al lotto (considerando quindi un generico N anziché 90), sia soprattutto dal numero dei caratteri (puoi considerare parole di k caratteri distinti, con k fisso, costruite su un alfabeto di N caratteri). il problema, naturalmente, si può estendere a tuo piacimento e a tua fantasia, ma quello evidenziato tra parentesi è quello principale che mi porterebbe a convincermi che non sempre la chiarezza è meglio dell'eleganza. grazie.
ciao.


P.S.: per onestà e completezza, riporto anche le tue belle formule (ah, lapsus, non "belle" come le avrebbe definite il mio subconscio, ma "eleganti"!):

"seascoli":Mah! Non capisco tutto il lavoro fatto su questo topic.
In breve le formulette cercate si scrivono a colpo. Infatti, detti A, B, C, D, E numeri fra 1 e 90, si ha
Ambo AB: $(B-90)+\sum_{a=1}^{A}(90-a) =A [90-(A+1)/2]+B-90 $, che coincide con la formula di Ada
Terno ABC: $(C-90)+\sum_{a=1}^{A}\sum_{b=a+1}^{B}(90-b)$
Quaterna ABCD: $(D-90)+\sum_{a=1}^{A}\sum_{b=a+1}^{B}\sum_{c=b+1}^{C}(90-c)$
Cinquina ABCDE: $(E-90)+\sum_{a=1}^{A}\sum_{b=a+1}^{B}\sum_{c=b+1}^{C}\sum_{d=c+1}^{D}(90-d)$
Non ho dato la somma esplicita per terni, quaterne e cinquine perchè di tratta di calcoli faticosi ma banali (roba da chiodi!).
D'altro canto le formule suddette sono facilmente calcolabili tramite un computer, e, credo, molto meglio delle espressioni chilometriche date da Ada.
Come diceva Lord Brummel "L'eleganza innanzi tutto, ragazzi!"

[Sk_Anonymous]

Continuo la discussione sulla sezione "Matematica Discreta", topic: "Problema combinatorio",
dove dò la soluzione del "tracciamento inverso" per i soli ambi, cioè la risposta alla domanda:
Qual e' l'N.mo ambo nell'elenco?