Un problema inerente una variabile aleatoria Chi Quadrato
Come si procede per risolvere questo problema???
Sapendo che $ <1> //<(1-2t)>^(<1/2>) $ è la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria costituita dal quadrato di una variabile aleatoria Gaussiana Standard , si calcoli media e varianza della variabile aleatoria Y = 2 + 3K con K variabile aleatoria Chi Quadrato con n gradi di libertà .
Sapendo che $ <1> //<(1-2t)>^(<1/2>) $ è la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria costituita dal quadrato di una variabile aleatoria Gaussiana Standard , si calcoli media e varianza della variabile aleatoria Y = 2 + 3K con K variabile aleatoria Chi Quadrato con n gradi di libertà .
Risposte
Diciamo che il problema lo risolvi immediatamente se conosci media e varianza della chi-quadro.
Seguendo la traccia hai più risultati da combinare che sono:
dalla fgm ti ricavi i momenti,
la gaussiana standard al quadrato è una chi-quadro con 1 gdl;
la chi-quadro con n gdl e la somma di n chi-quadro con 1 gdl;
media e varianza di una trasformazione lineare.
Seguendo la traccia hai più risultati da combinare che sono:
dalla fgm ti ricavi i momenti,
la gaussiana standard al quadrato è una chi-quadro con 1 gdl;
la chi-quadro con n gdl e la somma di n chi-quadro con 1 gdl;
media e varianza di una trasformazione lineare.
si ma mi dà la fgm della Gaussiana perchè???e come si procede proprio praticamente?nn colgo...
"tangarana":
si ma mi dà la fgm della Gaussiana perchè???e come si procede proprio praticamente?nn colgo...
Non ti da la Mgf della Gaussiana, ma la Mgf del quadrato di una gaussiana standard (cioè di una chi quadro con 1 g.d.l.).
Dalla Mgf ti ricavi la media e la varianza della chi quadro con 1 g.d.l. e poi ... continua te
Si ma non mi spiego come poi come si procede . Cioè ok , trovo media e varianza da quella funzione generatrice dei momenti , e poi per la chi quadrato con n gradi di libertà dovrei solo a questo punto cambiare l'esponente della media e varianza in n al numeratore di 1n/2 . Ma poi per la Y ? mi spieghereste meglio??? cioè io ho studiato chi quadrato e funzione generatrice dei momenti ma non mi spiego questa formula .
Allora vedi se ho capito. Da qlla Mgf che mi dà il problema conosco la FGM della Chi Quadrato con n gradi di libertà , moltiplicandone l'esponente per n . Della Chi Quadrato sono note media e varianza ; sapendo che la mia variabile Y = 2 + 3K , utilizzo la proprietà per cui la FGM di (a + bX) (caso generale ), è data dal prodotto dell'esponenziale di (at) moltiplicato per la FGM di (bt) . Naturalmente riportando qst risultati per la mia variabile aleatoria di cui conosco FGM e media e varianza . OK?
E' più semplice di quello che pensi. Seguiamo i suggerimenti di DajeForte.
1) Dalla assegnata Mgf della $\chi_1^2$ (chi quadro con 1 gdl, ovvero il quadrato di una normale standard) ti ricavi la media e la varianza.
Ti dovrebbe risultare $E[\chi_1^2]=1$ e $Var[\chi_1^2]=2$.
2) Sappiamo che K è una chi quadro con $n$ gdl, quindi è la somma di $n$ chi quadro indipendenti con 1 gdl: $K=\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2$
Possiamo ottenere facilmente la media e la varianza di K:
$E[K]=E[\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2]=\sum_(i=1)^(n)E[\chi_1^2]=n$
$Var[K]=Var[\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2]=\sum_(i=1)^(n)Var[\chi_1^2]=2n$ (le chi quadro sono indipendenti, non c'è covarianza)
3) Infine per la trasformazione lineare $Y=2+3K$, media e varianza sono:
$E[Y]=E[2+3K]=2+3*E[K]$
$Var[Y]=Var[2+3K]=9*Var[K]$
1) Dalla assegnata Mgf della $\chi_1^2$ (chi quadro con 1 gdl, ovvero il quadrato di una normale standard) ti ricavi la media e la varianza.
Ti dovrebbe risultare $E[\chi_1^2]=1$ e $Var[\chi_1^2]=2$.
2) Sappiamo che K è una chi quadro con $n$ gdl, quindi è la somma di $n$ chi quadro indipendenti con 1 gdl: $K=\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2$
Possiamo ottenere facilmente la media e la varianza di K:
$E[K]=E[\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2]=\sum_(i=1)^(n)E[\chi_1^2]=n$
$Var[K]=Var[\sum_(i=1)^(n)\chi_1^2]=\sum_(i=1)^(n)Var[\chi_1^2]=2n$ (le chi quadro sono indipendenti, non c'è covarianza)
3) Infine per la trasformazione lineare $Y=2+3K$, media e varianza sono:
$E[Y]=E[2+3K]=2+3*E[K]$
$Var[Y]=Var[2+3K]=9*Var[K]$
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