Un passaggio facile con le funzioni caratteristiche

[Raptorista1]

Buon giorno a tutti!
Nel mezzo del cammin del mio studio matto e disperatissimo, mi imbatto in un ostacolo, probabilmente molto banale, in questo esercizio:

Esercizio. Sia \(\mu\) una misura di probabilità, \(f(x)\) la sua densità, \(g(x) = \frac 1 2 f(x) + \frac 1 2 f(-x)\).
1) Mostrare che \(g\) è densità di qualche probabilità \(\nu\) [fatto, nessun problema]
2) Esprimere la funzione caratteristica \(\hat \nu\) di \(\nu\) in funzione di quella \(\hat \mu\) di \(\mu\).

La soluzione proposta da me è la seguente:
\begin{align*}
\hat \nu(u) &= \int_\mathbb{R} e^{iux} d\nu(x) = \int_\mathbb{R} e^{iux} g(x) dx = \int_\mathbb{R} e^{iux} \left( \frac 1 2 f(x) + \frac 1 2 f(-x) \right) dx \\
&= \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{iux} f(x) dx + \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{iux} f(-x) dx,
\end{align*}
e fin qui tutto ok.

A questo punto, io procederei così:
\[
\int_\mathbb{R} e^{iux} f(x) dx = \hat \mu(u) \text{ (ovviamente)}
\]
e poi, con cambio di variabile,
\[
\int_\mathbb{R} e^{iux} f(-x) dx =
\left\{ \begin{aligned}
t &= -x \\
x &= -t \\
dx &= -dt
\end{aligned} \right\} =
\int_\mathbb{R} - e^{i(-u)t} f(t) dt = - \hat \mu (-u)
\]
da cui
\[
\hat \nu(u) = \frac 1 2 \hat \mu(u) - \frac 1 2 \hat \mu(-u).
\]

La soluzione invece fa semplicemente
\begin{align*}
\hat \nu(u) &= \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{iux} f(x) dx + \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{iux} f(-x) dx = \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{iux} f(x) dx + \frac 1 2 \int_\mathbb{R} e^{i(-u)x} f(x) dx \\
&= \frac 1 2 \hat \mu(u) + \frac 1 2 \hat \mu(-u)
\end{align*}
sballandomi il risultato di un segno meno.

Ora, se dovessi azzardare una spiegazione, ovviamente punterei il dito accusatore su \(dx = -dt\), che per confronto è quello che sballa tutto.
Io non sono molto pratico della misura di Lebesgue e della teoria della misura in generale, però so che una misura dev'essere sempre non negativa, quindi quell'uguaglianza sembra essere sbagliata, ma non ne sono molto sicuro!

Ogni consiglio è ben accetto
Grazie a tutti!

[Raptorista1]

Trovato il baco: quando faccio il cambio di variabile, l'intervallo di integrazione passa da \((-\infty,+\infty)\) a \((+\infty,-\infty)\), e nel rimetterlo a posto salta fuori il meno mancante.

Si ringrazia "un matematico" per la dritta!