Trovare distribuzioni marginali
La densità congiunta del vettore $(X,Y)$ è $f(x,y)=e^(-y)$ per $0<=x<=y
b) Dei numeri aleatori $X$,$Y$,$Y-X$ quali sono a due e due indipendenti?
a) Trovare le distribuzioni marginali si intende calcolare $P(X<=0)$ e $P(Y<=0)$?
In ogni caso dovrei calcolare le densità marginali ma non saprei in quali intervalli.
Avevo provato con $f_X(x)=\int_0^y f(x,y)dy$ ma ottengo 1 e non credo sia un valore possibile.
Grazie
b) Dei numeri aleatori $X$,$Y$,$Y-X$ quali sono a due e due indipendenti?
a) Trovare le distribuzioni marginali si intende calcolare $P(X<=0)$ e $P(Y<=0)$?
In ogni caso dovrei calcolare le densità marginali ma non saprei in quali intervalli.
Avevo provato con $f_X(x)=\int_0^y f(x,y)dy$ ma ottengo 1 e non credo sia un valore possibile.
Grazie
Risposte
"arnett":
Ora si tratta di scrivere bene questo integrale: tra cosa varia $y$?
Tra 0 e $+oo$?
L'indipendenza di $X$ e $Y$ si fa con gli occhi: il supporto della congiunta è un triangolo, quindi...
Dovrebbe essere un rettangolo per dire che sono indipendenti,quindi possiamo già concludere che non lo sono.
"arnett":
varia tra $x$ e $+\infty$.
Ok quindi adesso devo calcolarmi le funzioni di densità marginali
$f_X(x)= \int_0^y e^(-t) dt = -e^(-t)|_0^y=1-e^(-y)$
Forse dovevo indicare $+oo$ invece di $y$ come estremo di integrazione?
Il dubbio mi sorge quando poi calcolo $f_Y(y)$
$f_Y(y)=\int_x^(+oo) e^(-t) ds= e^(-t)s|_x^(+oo)=-xe^(-t)$
però ho un pò di timore di creare casini tra x,y,s,t.
Grazie.
EDIT: forse risolverei semplicemente scrivendo $e^(-y)$ pure nella $f_Y$, vero?
"arnett":
No, ci sono grossi problemi sugli integrali. Ti dico, guarda il primo integrale: $y$ varia tra $x$ e $+\infty$, perché metti come estremi $0$ e $y$?
Perchè sono stupida e ho messo gli intervalli di definizione di x e poi scrivo dy.
Mi sa che ho bisogno di un break.
Risolto il problema degli estremi di integrazione, il ragionamento dovrebbe essere corretto (spero).. Giusto?
Grazie mille per la pazienza.
vi ricordo che dovete controllare l'indipendenza a coppie. in particolare vi faccio notare che $X$ e $(Y-X)$ sono indipendenti.
una volta trovate le marginali dovreste anche identificarle come distribuzioni note....una esponenziale ed una $"Gamma"(2;1)$
una volta trovate le marginali dovreste anche identificarle come distribuzioni note....una esponenziale ed una $"Gamma"(2;1)$
sorry non dovevo sovrappormi
Rieccomi, vi sono mancata?? Scherzo 
Ho calcolato gli integrali, spero questa volta senza fare errori, e ottengo
$f_X(x)=\int_x^(+oo)e^(-t)dt=e^(-x)$ per $0
$f_Y(y)=\int_0^(y)e^(-s)ds=1-e^(-y)$ per $x<=y<+oo$
Riguardo all'indipendenza, abbiamo già provato che X e Y non sono indipendenti.
Adesso dovrei calcolare $f_(X,Y-X)$ e $f_(Y-X)$ per provare le altre due possibilità
$f_(X,Y-X)=f_X*f_(Y-X)$
$f_(Y,Y-X)=f_Y*f_(Y-X)$
Il tuo intervento è sempre prezioso, tranquillo!
Grazie ragazzi per la pazienza, non immaginate l'aiuto che mi state dando!
Ho calcolato gli integrali, spero questa volta senza fare errori, e ottengo
$f_X(x)=\int_x^(+oo)e^(-t)dt=e^(-x)$ per $0
$f_Y(y)=\int_0^(y)e^(-s)ds=1-e^(-y)$ per $x<=y<+oo$
Riguardo all'indipendenza, abbiamo già provato che X e Y non sono indipendenti.
Adesso dovrei calcolare $f_(X,Y-X)$ e $f_(Y-X)$ per provare le altre due possibilità
$f_(X,Y-X)=f_X*f_(Y-X)$
$f_(Y,Y-X)=f_Y*f_(Y-X)$
"tommik":
sorry non dovevo sovrappormi
Il tuo intervento è sempre prezioso, tranquillo!
Grazie ragazzi per la pazienza, non immaginate l'aiuto che mi state dando!
"arnett":
Per quanto la variabile di integrazione sia muta ti consiglio di mantenere i nomi originali per non fare confusione.
Adesso ho capito, era questo fin dal primo post che mi mandava in confusione. Grazie!
Ho provato a calcolare
$f_(X,Y-X)=\int_(y-x)^0 \int_(2x)^(+oo) e^(-y) dydx=-1/2(1-e^(-2(y-x)))$
Ma non credo sia giusto...
Ciao arnett, perdona il ritardo nella risposta ma oggi a lavoro è stato impossibile 'ragionare'.
Io credo vada risolto mediante questo integrale
$\int_0^y \int_x^(v+x) e^(-y) dydx$
ma quella y del primo integrale non mi convince molto.
Non credo che riuscirò mai a capire e riuscire a svolgere un esercizio di questo tipo quindi alzo bandiera bianca!
(Perlomeno finchè non ci sbatto per bene la testa nella parte di teoria relativa a questo argomento. )
Grazie sempre per l'aiuto, un caro saluto!
"arnett":
Comunque bisogna ancora trovare la densità di $V=Y-X$ e per farlo direi di procedere calcolando $F_V(v)=\mathbb{P}(V\le v)=\mathbb{P}(Y\le v+X)=...$
Io credo vada risolto mediante questo integrale
$\int_0^y \int_x^(v+x) e^(-y) dydx$
ma quella y del primo integrale non mi convince molto.
Trovata questa bisogna calcolare la densità congiunta di $(X, Y-X)$ e per farlo userei il teorema fondamentale di trasformazione con la trasformazione, diciamo $\Phi(X, Y)$, seguente: $\{(W=X),(V=Y - X):}$. Trasformazione assolutamente innocua, che piacevolmente ti dà $|J\Phi^{-1}|=1$ e il teorema fondamentale si risolve quindi in una banale sostituzione che ti lascio completare...
Non credo che riuscirò mai a capire e riuscire a svolgere un esercizio di questo tipo quindi alzo bandiera bianca!
(Perlomeno finchè non ci sbatto per bene la testa nella parte di teoria relativa a questo argomento.
)Grazie sempre per l'aiuto, un caro saluto!
"arnett":
Hai fatto un disegno?
No ma in questo caso y-x=0 è la bisettrice del primo quadrante.
Risolvendo l'integrale ottengo
$\int_0^{+\infty}\int_x^{z+x} e^{-y} dy dx=1-e^(-z)$.
Non capisco perchè hai scritto $z$ invece di tenere $v$ dato che in origine avevamo indicato $V=Y-V$.
Grazie.
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