Trovare densità X

[valesyle92]

Salve a tutti ho questo esercizio :


la densità congiunta uniforme f(x,y) viene 1/4 nel quadrato e zero fuori . adesso per trovare la densità di X devo fare l'integrale da meno infinito a piu infinito di f(x,y ) dy pero' non so se e' giusto e non so come si fa. Qualcuno sa come fare? Grazie

[walter891]

in realtà l'area del quadrato mi sembra che sia $2$ quindi la densità congiunta è $f(x,y)=1/2$
ora la regola generale è sempre la stessa però siccome la densità è nulla fuori dal quadrato dobbiamo capire quali sono gli estremi di integrazione corretti: se ci ragioni un po' ottieni che la $y$ varia tra $|x-1|$ e $2-|x-1|$, se i conti sono giusti dovrebbe uscire $f_X(x)=1-|x-1|$ con $0

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[stormy1]

cerchiamo però di spiegare un po' più nel dettaglio come si arriva al giusto risultato trovato da walter
dati $A(1,0);B(2,1);C(1,2)$,il 4° vertice del quadrato è $D(0,1)$
l'equazione della retta
$CD$ è $y=x+1$
$AD$ è $y=-x+1$
$AB$ è $y=x-1$
$BC$ è $y=-x+3$

per il significato di densità marginale si ha
per $0leqxleq1$ che $f_X(x)= int_(1-x)^(1+x) 1/2dy=x $
per $1leqxleq2$ che $ f_X(x)=int_(x-1)^(3-x) 1/2dy=2-x $

per quanto riguarda l'altra domanda,poniamo $Z=X+Y$
$F(Z leq z)=P(Yleqz-X)$
consideriamo allora la retta $y=z-x$:prima di tutto,essa interseca il quadrato se,e solo se,$1leqzleq3$
quindi $Z$ assume tutti i valori compresi tra $1$ e $3$
detto $P$ il punto di intersezione delle rette $y=x-1$ e $y=z-x$,si ha $ bar(AP)=sqrt2(z-1)/2 $
è chiaro adesso che $F_Z(z)=1/2bar(AP)cdotbar(AD)=1/2(z-1) $
quindi,$f_Z(z)=1/2$

[valesyle92]

grazie davvero Stormy sei un grande!!!! Sei stato gentilissimO!!!