Trovare codominio della variabile aleatoria definita come somma di va indipendenti di Poisson e Binomiale

[haru1]

Salve a tutti,

ho il seguente esercizio. Siano:
[tex]\begin{array}{lcl} X & \sim & Po(\lambda_1), \\ Y & \sim & Po(\lambda_2), \\ Z & \sim & Bin(1, \frac{1}{2}) \end{array}[/tex]
variabili aleatorie indipendenti, dove [tex]\lambda_1, \lambda_2 > 0[/tex]
Si definisca $T := (X+Y)Z-1$

Determinare il codominio di $T$.
Se $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$ si determini inoltre la funzione di probabilità di $T$.

ho provato ad impostare l'esercizio in questo modo, ma, non mi ha portato alla conclusione:
[tex]\begin{array}{lcl} X & \sim & Po(1), \\ Y & \sim & Po(2), \\ Z & \sim & Bin(1, \frac{1}{2}) \end{array}[/tex]
e ho considerato la funzione di probabilità di ogni singola variabile aleatoria:
[tex]\begin{array}{lcl}P(X=x) & = & e^{-1} \frac{1^x}{x!} & \mbox{for} & x = 0, \dots, +\infty \\ P(Y = y) & = & e^{-2} \frac{2^y}{y!} & \mbox{for} & y = 0, \dots, +\infty \\ P(Z = z) & = & \binom{1}{z}(\frac{1}{2})^{1-z}(\frac{1}{2})^z & \mbox{for} & z = 0, \dots, 1 \end{array}[/tex]

ma, da qui, non so continuare, potreste cortesemente aiutarmi? Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

In tutta onestà ciò che hai scritto non mi sembra una bozza di soluzione ....la distribuzione di $(X+Y ) $ è cosa nota...l'altra vale solo 0 oppure 1 ...e la sua pdf è semplicemente $p (Z=z)=1/2I_({0;1})(z) $

[haru1]

ok. posso dire che se $Z=0$ allora $T=-1$, se $Z=1$ allora $T=X+Y-1$, ma, il secondo non è un valore.
Come è possibile calcolare il valore numerico?
Inoltre non so è utile ma se [tex]X \sim Po(1), Y \sim Po(2)[/tex] allora [tex]X+Y \sim Po(1+2=3)[/tex]
Potreste aiutarmi ulteriormente? Grazie!