Tre urne e palline
Ciao ragazzi, sono tornato e sono sicuro di non esservi mancato 
tra l'altro ho anche qualche linea di febbre quindi mi scuso in anticipo per eventuali strafalcioni.
"Si supponga di avere tre urne identiche. La prima contiene $12$ palline rosse, la seconda contiene $6$ rosse e $6$ gialle, la terza contiene $6$ rosse, $3$ gialle e $3$ verdi. Scelta a caso un'urna:
1) calcolare la probabilità di estrarre una pallina rossa;
2) qual è la probabilità che estraendo due palline senza reinserzione, siano entrambe rosse?
3) Si supponga di avere un punteggio pari a $1$ punto quando viene estratta una pallina rossa, $2$ punti per una pallina gialla, $3$ punti per una verde. Calcolare la probabilità che, estraendo due palline con reinserimento, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a cinque;
4) Sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il punteggio ottenuto estraendo due palline. Calcolare media e varianza di $X$.
[Risoluzione]
Procediamo per gradi. Ho definito i seguenti eventi... :
$U_i = {"scelta dell'urna i"}$ con $i = 1,2,3$
$R = {"estrazione di una pallina rossa"}$
$V = {"estrazione di una pallina verde"}$
$G = {"estrazione di una pallina gialla"}$
... e le seguenti probabilità:
$P(R|U_1) = 1$
$P(R|U_2) = 6/12 = 1/2$
$P(R|U_3) = 6/12 = 1/2$
$P(V|U_3) = 3/12 = 1/4$
$P(G|U_2) = 6/12 = 1/2$
$P(G|U_3) = 3/12 = 1/4$
1) Per il punto 1 ho applicato il teorema sulla probabilità totale:
$P(R) = P(R|U_1) * P(U_1) + P(R|U_2) * P(U_2) + P(R|U_3) * P(U_3) = 2/3$.
2) Per questo punto tengo in considerazione ovviamente che gli eventi non sono indipendenti ma ogni estrazione condiziona l'altra, non essendoci reinserzione. Di conseguenza, sia $R_2 = {"estrazione di due palline rosse"}$. Avremo:
$P(R_2) = P(R_2| U_1) * P(U_1) + P(R_2|U_2) * P(U_2) + P(R_2| U_3) * P(U_3) = 1/3 + 2(5/22 * 1/3) = 16/33$ ???
Ho calcolato le probabilità condizionate per le urne $2$ e $3$ tramite ipergeometrica.
3) Per ottenere un $"punteggio" >=5$ devo necessariamente estrarre una gialla e una verde, o una verde e una gialla, o due verdi.
Dunque:
$P("punteggio" >=5) = P(G)P(V) + P(V)P(G) + P(V)*P(V)$. Calcolo tramite teorema delle probabilità totali
$P(G)$ e $P(V)$ e ottengo:
$P(V) = 3/12 = 1/4$. L'urna $3$ è l'unica ad avere palline verdi.
$P(G) = P(G|U_2) P(U_2) + P(G|U_3) P(U_3) = 1/4$.
Supponendo che il valore trovato per $P(V)$ sia corretto, dovremmo avere:
$P("punteggio" >=5) = P(G)P(V) + P(V)P(G) + P(V)*P(V) = 3/16$ ???
tra l'altro ho anche qualche linea di febbre quindi mi scuso in anticipo per eventuali strafalcioni."Si supponga di avere tre urne identiche. La prima contiene $12$ palline rosse, la seconda contiene $6$ rosse e $6$ gialle, la terza contiene $6$ rosse, $3$ gialle e $3$ verdi. Scelta a caso un'urna:
1) calcolare la probabilità di estrarre una pallina rossa;
2) qual è la probabilità che estraendo due palline senza reinserzione, siano entrambe rosse?
3) Si supponga di avere un punteggio pari a $1$ punto quando viene estratta una pallina rossa, $2$ punti per una pallina gialla, $3$ punti per una verde. Calcolare la probabilità che, estraendo due palline con reinserimento, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a cinque;
4) Sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il punteggio ottenuto estraendo due palline. Calcolare media e varianza di $X$.
[Risoluzione]
Procediamo per gradi. Ho definito i seguenti eventi... :
$U_i = {"scelta dell'urna i"}$ con $i = 1,2,3$
$R = {"estrazione di una pallina rossa"}$
$V = {"estrazione di una pallina verde"}$
$G = {"estrazione di una pallina gialla"}$
... e le seguenti probabilità:
$P(R|U_1) = 1$
$P(R|U_2) = 6/12 = 1/2$
$P(R|U_3) = 6/12 = 1/2$
$P(V|U_3) = 3/12 = 1/4$
$P(G|U_2) = 6/12 = 1/2$
$P(G|U_3) = 3/12 = 1/4$
1) Per il punto 1 ho applicato il teorema sulla probabilità totale:
$P(R) = P(R|U_1) * P(U_1) + P(R|U_2) * P(U_2) + P(R|U_3) * P(U_3) = 2/3$.
2) Per questo punto tengo in considerazione ovviamente che gli eventi non sono indipendenti ma ogni estrazione condiziona l'altra, non essendoci reinserzione. Di conseguenza, sia $R_2 = {"estrazione di due palline rosse"}$. Avremo:
$P(R_2) = P(R_2| U_1) * P(U_1) + P(R_2|U_2) * P(U_2) + P(R_2| U_3) * P(U_3) = 1/3 + 2(5/22 * 1/3) = 16/33$ ???
Ho calcolato le probabilità condizionate per le urne $2$ e $3$ tramite ipergeometrica.
3) Per ottenere un $"punteggio" >=5$ devo necessariamente estrarre una gialla e una verde, o una verde e una gialla, o due verdi.
Dunque:
$P("punteggio" >=5) = P(G)P(V) + P(V)P(G) + P(V)*P(V)$. Calcolo tramite teorema delle probabilità totali
$P(G)$ e $P(V)$ e ottengo:
$P(V) = 3/12 = 1/4$. L'urna $3$ è l'unica ad avere palline verdi.
$P(G) = P(G|U_2) P(U_2) + P(G|U_3) P(U_3) = 1/4$.
Supponendo che il valore trovato per $P(V)$ sia corretto, dovremmo avere:
$P("punteggio" >=5) = P(G)P(V) + P(V)P(G) + P(V)*P(V) = 3/16$ ???
Risposte
1)Va bene. Semplificando hai 24 palline rosse su 36 $24/36=2/3$
2) Va bene. $16/33$ è il risultato esatto,
3) Non mi ritrovo. E' vero che devi "centrare" l'urna 3. Ma poi non tornano i conti.
$p=1/3*3/12*3/12*2+1/3*3/12*3/12=(18+9)/432=27/432=1/16$
4) E' fuori dalla mia portata,,,,,,,,
2) Va bene. $16/33$ è il risultato esatto,
3) Non mi ritrovo. E' vero che devi "centrare" l'urna 3. Ma poi non tornano i conti.
$p=1/3*3/12*3/12*2+1/3*3/12*3/12=(18+9)/432=27/432=1/16$
4) E' fuori dalla mia portata,,,,,,,,
Ciao superpippone. Ti ringrazio per aver confermato i primi punti, però non riesco a trovare la quadra al punto 3). Come hai ottenuto questo risultato??
Inoltre, mentre ci sono, vorrei togliere un dubbio (ma indirettamente la conferma mi è arrivata). Posso usare l'ipergeometrica solo nel caso di eventi il cui risultato sia successo o insuccesso, giusto? Cioè, ad esempio, nel caso di estrazione delle palline rosse senza reinserimento va bene, perchè anche se certe urne contengono palline di tre colori io considero come successo l'estrazione di una rossa e come fallimento l'estrazione di palline di colore diverso dal rosso. Quindi in questo caso non ci dovrebbero essere problemi. Se invece mi avessero chiesto di estrarre dall'urna una rossa, una gialla e una verde senza reinserimento a quel punto non avrei potuto più usare l'ipergeometrica. Dico bene?
Inoltre, mentre ci sono, vorrei togliere un dubbio (ma indirettamente la conferma mi è arrivata). Posso usare l'ipergeometrica solo nel caso di eventi il cui risultato sia successo o insuccesso, giusto? Cioè, ad esempio, nel caso di estrazione delle palline rosse senza reinserimento va bene, perchè anche se certe urne contengono palline di tre colori io considero come successo l'estrazione di una rossa e come fallimento l'estrazione di palline di colore diverso dal rosso. Quindi in questo caso non ci dovrebbero essere problemi. Se invece mi avessero chiesto di estrarre dall'urna una rossa, una gialla e una verde senza reinserimento a quel punto non avrei potuto più usare l'ipergeometrica. Dico bene?
Ciao arnett e grazie per la risposta. Immaginavo che ci fosse una ipergeometrica "multi" così come esiste la multinomiale, ma non avevo fatto le accurate ricerche. Al punto 4) le estrazioni vanno considerate senza reinserzione? Non si specifica se ci sia o meno.
Per il punto 3) hai ragione, l'unica possibilità è quella di estrarre dalla terza urna, ho sbagliato a tenere in conto anche l'estrazione di palline gialle dalla seconda urna. Non ci avevo fatto caso. Provo a ricalcolare il tutto per vedere se la soluzione coincida con quella di superpippone.
Per il punto 3) hai ragione, l'unica possibilità è quella di estrarre dalla terza urna, ho sbagliato a tenere in conto anche l'estrazione di palline gialle dalla seconda urna. Non ci avevo fatto caso. Provo a ricalcolare il tutto per vedere se la soluzione coincida con quella di superpippone.
"superpippone":
$p=1/3*3/12*3/12*2+1/3*3/12*3/12=(18+9)/432=27/432=1/16$
La soluzione indicata da superpippone è sempre indicata tramite probabilità totali? Nel senso che:
$3/12 * 3/12 * 2$ rappresenta la probabilità di pescare la coppia giallo-verde o verde-giallo a cui sommiamo $ 3/12 * 3/12$ che è la probabilità di pescare due volte una pallina verde. In questi due elementi si va a moltiplicare per $1/3$ che rappresenta la probabilità di pescare da un'urna. E' una probabilità totale??
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