Tre paginette sulla misura che conta i punti
Ho appena riveduto e corretto un breve testo che ho scritto un paio di mesi fa sulla misura $\mu$ che conta i punti, cioè quella misura che dà il numero degli elementi di un insieme se questo numero è finito, altrimenti dà $\infty$. Lo scopo principale è quello di fornire un controesempio del teorema di Radon-Nikodym e di caratterizzare le misure aventi densità rispetto a $\mu$.
Vorrei che questo scritto fosse chiaro e soprattutto giusto
Ho messo il tutto in una cartella di dropbox, cioè il file in tex, il dvi e il disegnino in formato eps.
Mi aspetto numerose correzioni e integrazioni
Vorrei che questo scritto fosse chiaro e soprattutto giusto
Ho messo il tutto in una cartella di dropbox, cioè il file in tex, il dvi e il disegnino in formato eps.Mi aspetto numerose correzioni e integrazioni
Risposte
ma hai scritto tutto te o hai tratto da qualche fonte le cose (tipo sugli enunciati o suelle definizioni che hai dato)? se si, le metteresti?
Comunque prima di tutto Complimenti,interessante, non mi ero mai cimentato nel riflettere su questa misura
Qualche considerazione (si vede che sono in vacanza ehehe postavi tra qualche giorno e non avresti ricevuto risposta per molto tempo )...
1. Sulla definizione di $\sum_{x\in I}a_i$: questa non è la definizione dell'integrale, è cosa ben diversa! (basti pensare a $a_i=1$ su un intervallo $(a,b)$...).
Se l'insieme $I$ è numerabile allora la tua definizione è ben posta, altrimenti non mi convince che essa abbia delle belle proprietà, tipo essere lineare(*)...
2. sulla proposizione 1 mi pare che ti sei dimenticato una sommatoria su $i$ alla fine della prima pagina.
Inoltre devi fare più attenzione in quanto le funzioni che usi per approssimare $f$ sono semplici, ma non è vero che debbono avere supporto su punti... ($\phi_n=\sum_{i\leq n} a_i^n 1_{A_i^n}$) o almeno dovresti motivare il perchè puoi sceglierle proprio così (la dimostrazione del teorema a cui fai riferimenti è costruttiva e ti dice come le puoi prendere... prova a pensarci
).
3. la dimostrazione proposizione 2 è sbagliata, o comunque non mi torna troppo la dimostrazione...
Forse interpreto male io, ma non capisco perchè scrivi che $\nu(B_n)=\sum_{x\in B_n}\nu(x)$, magari mi confondo io con queste notazioni, ma qui mi pare usi implicitamente che $\nu$ sia solo una misura atomica... (dubbio motivato dalla prima considerazione (*), se quello che hai scritto non è lineare, allora non vale).
3. per il controesempio su Radon-Nykodim: il tuo controesempio è naturale:
tu sai cha $\mu$ è una misura discreta con supporto dei punti a cui da misura finita al più numerabile , ovvero $\mu=\mu_f+\mu_{\infty}$, dove $\mu_f$ è una misura definita nel seguente modo: $\mu_f=\sum_{x\in N} \delta_{x}$, dove $N=\{A\subset \mathbb{R}: |A|<\infty\}$ e $\mu_{\infty}(A)=\infty$ per ogni $A\subset N^c$, $0$ altrimenti.
Ovvero hai che la tua misura si decompone in una parte assolutamente continua rispetto alla misura di lebesgue data da $\mu_{\infty}$ per cui la derivata di Radon Nykodin è zero (in quanto nulla su ogni intervallo compatto di $\mathbb{R}$, essendo la misura di leb. finita su tali intervalli) e una misura singolare, di cui non te ne fai nulla
Da questa scrittura appare chiara la dimostrazione della proposizione 3 (forse in questo modo è più diretta), non so...
Spero di aver fatto commenti costruttivi e di non aver detto troppe boiate
(non sarebbe particolarmente strano).
Comunque prima di tutto Complimenti,interessante, non mi ero mai cimentato nel riflettere su questa misura
Qualche considerazione (si vede che sono in vacanza ehehe postavi tra qualche giorno e non avresti ricevuto risposta per molto tempo
)...1. Sulla definizione di $\sum_{x\in I}a_i$: questa non è la definizione dell'integrale, è cosa ben diversa! (basti pensare a $a_i=1$ su un intervallo $(a,b)$...).
Se l'insieme $I$ è numerabile allora la tua definizione è ben posta, altrimenti non mi convince che essa abbia delle belle proprietà, tipo essere lineare(*)...
2. sulla proposizione 1 mi pare che ti sei dimenticato una sommatoria su $i$ alla fine della prima pagina.
Inoltre devi fare più attenzione in quanto le funzioni che usi per approssimare $f$ sono semplici, ma non è vero che debbono avere supporto su punti... ($\phi_n=\sum_{i\leq n} a_i^n 1_{A_i^n}$) o almeno dovresti motivare il perchè puoi sceglierle proprio così (la dimostrazione del teorema a cui fai riferimenti è costruttiva e ti dice come le puoi prendere... prova a pensarci
).3. la dimostrazione proposizione 2 è sbagliata, o comunque non mi torna troppo la dimostrazione...
Forse interpreto male io, ma non capisco perchè scrivi che $\nu(B_n)=\sum_{x\in B_n}\nu(x)$, magari mi confondo io con queste notazioni, ma qui mi pare usi implicitamente che $\nu$ sia solo una misura atomica... (dubbio motivato dalla prima considerazione (*), se quello che hai scritto non è lineare, allora non vale).
3. per il controesempio su Radon-Nykodim: il tuo controesempio è naturale:
tu sai cha $\mu$ è una misura discreta con supporto dei punti a cui da misura finita al più numerabile , ovvero $\mu=\mu_f+\mu_{\infty}$, dove $\mu_f$ è una misura definita nel seguente modo: $\mu_f=\sum_{x\in N} \delta_{x}$, dove $N=\{A\subset \mathbb{R}: |A|<\infty\}$ e $\mu_{\infty}(A)=\infty$ per ogni $A\subset N^c$, $0$ altrimenti.
Ovvero hai che la tua misura si decompone in una parte assolutamente continua rispetto alla misura di lebesgue data da $\mu_{\infty}$ per cui la derivata di Radon Nykodin è zero (in quanto nulla su ogni intervallo compatto di $\mathbb{R}$, essendo la misura di leb. finita su tali intervalli) e una misura singolare, di cui non te ne fai nulla
Da questa scrittura appare chiara la dimostrazione della proposizione 3 (forse in questo modo è più diretta), non so...
Spero di aver fatto commenti costruttivi e di non aver detto troppe boiate
(non sarebbe particolarmente strano).
"fu^2":
ma hai scritto tutto te o hai tratto da qualche fonte le cose (tipo sugli enunciati o suelle definizioni che hai dato)? se si, le metteresti?
Mi sono appoggiato ai due esercizi 1.3.9 e 1.3.10 a pagina 18 di questi appunti.
1. Sulla definizione di $\sum_{x\in I}a_i$: questa non è la definizione dell'integrale, è cosa ben diversa!
Non è la definizione di integrale ma di somma della serie per somme più che numerabili, credo... E in effetti si dimostra che... Non servono a niente
Nel senso che se una somma più che numerabile è finita, allora solo una quantità al più numerabile di addendi è non nulla.2. sulla proposizione 1 mi pare che ti sei dimenticato una sommatoria su $i$ alla fine della prima pagina.
Inoltre devi fare più attenzione in quanto le funzioni che usi per approssimare $f$ sono semplici, ma non è vero che debbono avere supporto su punti... ($\phi_n=\sum_{i\leq n} a_i^n 1_{A_i^n}$) o almeno dovresti motivare il perchè puoi sceglierle proprio così (la dimostrazione del teorema a cui fai riferimenti è costruttiva e ti dice come le puoi prendere... prova a pensarci
Avrei cercato di motivare nella prima parte della dimostrazione, il perché posso prendere le funzioni semplici fatte così: intanto posso prenderle tutte con gli stessi $A_i$ e posso prenderli disgiunti. Poi, per come è fatta la $\mu$, gli $A_i$ saranno finiti, per cui posso prendere direttamente gli $\{x_i\}$ come $A_i$ (ho sempre una somma finita di indicatrici di insiemi di misura finita): non torna?
3. la dimostrazione proposizione 2 è sbagliata, o comunque non mi torna troppo la dimostrazione...
Forse interpreto male io, ma non capisco perchè scrivi che $\nu(B_n)=\sum_{x\in B_n}\nu(x)$, magari mi confondo io con queste notazioni, ma qui mi pare usi implicitamente che $\nu$ sia solo una misura atomica... (dubbio motivato dalla prima considerazione (*), se quello che hai scritto non è lineare, allora non vale).
Mmmm... Forse non hai tutti i torti
Qui all'inizio suppongo che $\nu$ sia finita e so che i punti di $B_n$ hanno misura positiva, ma effettivamente non sono più tanto sicuro di poter fare quel passaggio...Ovvero hai che la tua misura si decompone in una parte assolutamente continua rispetto alla misura di lebesgue data da $\mu_{\infty}$ per cui la derivata di Radon Nykodin è zero (in quanto nulla su ogni intervallo compatto di $\mathbb{R}$, essendo la misura di leb. finita su tali intervalli) e una misura singolare, di cui non te ne fai nulla
Da questa scrittura appare chiara la dimostrazione della proposizione 3 (forse in questo modo è più diretta), non so...
Questa parte la leggo domani mattina perché ormai ho sonno e non capisco più niente
Comunque negli appunti l'esercizio viene dato subito prima di spiegare la decomposizione di Lebesgue, quindi presumo che ci si debba arrangiare senza "fu^2":
Spero di aver fatto commenti costruttivi e di non aver detto troppe boiate
I tuoi interventi sono sempre utili
"retrocomputer":
[quote="fu^2"]ma hai scritto tutto te o hai tratto da qualche fonte le cose (tipo sugli enunciati o suelle definizioni che hai dato)? se si, le metteresti?
Mi sono appoggiato ai due esercizi 1.3.9 e 1.3.10 a pagina 18 di questi appunti.
1. Sulla definizione di $\sum_{x\in I}a_i$: questa non è la definizione dell'integrale, è cosa ben diversa!
Non è la definizione di integrale ma di somma della serie per somme più che numerabili, credo... E in effetti si dimostra che... Non servono a niente
Nel senso che se una somma più che numerabile è finita, allora solo una quantità al più numerabile di addendi è non nulla.[/quote]
Perfetto, grazie del lnk, ok per la definizione. In ogni caso Spiego meglio il mio dubbio: se consideri $I$ un intervallo, giusto per fissare le idee, e fai il sup su tutti gli insiemi finiti $J$, con $J\subset I$ ottieni qualcosa di numerabile, ovvero se $A$ è l'insieme che realizza il sup, esso esso è al più numerabile (ed è unico).
Questo, a pensarci bene, me l'hai già detto, che mi hai detto che si dimostra che solo un numero al più numerabile di termini sono diversi da zero.
Questa definizione mi ricorda molto una versione deterministica del problema di tempo di (primo ed ultimo passaggio) di percolazione (qui una referenza: http://arxiv.org/abs/math/0604189 )
[quote]2. sulla proposizione 1 mi pare che ti sei dimenticato una sommatoria su $i$ alla fine della prima pagina.
Inoltre devi fare più attenzione in quanto le funzioni che usi per approssimare $f$ sono semplici, ma non è vero che debbono avere supporto su punti... ($\phi_n=\sum_{i\leq n} a_i^n 1_{A_i^n}$) o almeno dovresti motivare il perchè puoi sceglierle proprio così (la dimostrazione del teorema a cui fai riferimenti è costruttiva e ti dice come le puoi prendere... prova a pensarci
Avrei cercato di motivare nella prima parte della dimostrazione, il perché posso prendere le funzioni semplici fatte così: intanto posso prenderle tutte con gli stessi $A_i$ e posso prenderli disgiunti. Poi, per come è fatta la $\mu$, gli $A_i$ saranno finiti, per cui posso prendere direttamente gli $\{x_i\}$ come $A_i$ (ho sempre una somma finita di indicatrici di insiemi di misura finita): non torna?
[/quote]
qui le tue $\phi$ approssimano la $f$ quindi penso che dovresti prenderle ragionando su $f$, comunque ci penso su meglio... mi sembra un po' fumosa la cosa...
prova a dimostrare che la successione che hai preso ha una qualche convergenza (se l'hai costruità così su misura per il problema forse riesci a ricavarne qualcosa).
[quote]Ovvero hai che la tua misura si decompone in una parte assolutamente continua rispetto alla misura di lebesgue data da $\mu_{\infty}$ per cui la derivata di Radon Nykodin è zero (in quanto nulla su ogni intervallo compatto di $\mathbb{R}$, essendo la misura di leb. finita su tali intervalli) e una misura singolare, di cui non te ne fai nulla
Da questa scrittura appare chiara la dimostrazione della proposizione 3 (forse in questo modo è più diretta), non so...
Questa parte la leggo domani mattina perché ormai ho sonno e non capisco più niente
Comunque negli appunti l'esercizio viene dato subito prima di spiegare la decomposizione di Lebesgue, quindi presumo che ci si debba arrangiare senza [/quote]
si certo, la mia decomposizione è fatta proprio a mano, era giusto per scrivere un'annotazione che magari poteva essere interessante
"fu^2":
qui le tue $\phi$ approssimano la $f$ quindi penso che dovresti prenderle ragionando su $f$, comunque ci penso su meglio... mi sembra un po' fumosa la cosa...
Più che costruirla, avrei un po' limato la faccenda con delle condizioni che dovrebbe rispettare... Forse posso anche dire che $a_i^n\to f(x_i)$ crescendo, eh?
La convergenza della successione di funzioni semplici deve essere puntuale.
si però in linea di massima devi dire perchè esiste tale successione... oltre a dire cosa deve rispettare
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