Tre formule per un problema, quale la giusta?

[ninì2]

In scritti diversi ho letto di risultati difformi di un medesimo (?) probema che qui riassumo.
Dalla solita urna di palline verdi e rosse, sicchè p sia la probabilità (con reimmissione) di estrarre verde, vengono estratte e reimmesse palline. Se sono disponibili n tentativi qual'è in numero medio di estrazioni $M(n) 1) $M(n)=1/p-(1-p)^n*(n+1/p)$
2) $M(n)=1/p-(n*(1-p)^n)/(1-(1-p)^n)$
3) $M(n)=(1-(1-p)^n)/p$
Ho constatato che la differenza tra la (1) e la (2) sta nel fatto che la seconda si ottiene dividendo la prima per $1-(1-p)^n$. Sono riuscito a ricavare la prima inquanto media delle possibili $i$ estrazioni contenenti un successo per il corrispondente peso probabilistico $p*(1-p)^(i-1)$ perciò mi pare quella corretta, ma la seconda? Quanto alla terza non ho capito donde provenga.
Chi può illuminarmi?

[mariodic]

"ninì":Dalla solita urna di palline verdi e rosse, sicchè p sia la probabilità (con reimmissione) di estrarre verde, vengono estratte e reimmesse palline. Se sono disponibili n tentativi qual'è in numero medio di estrazioni $M(n) 1) $M(n)=1/p-(1-p)^n*(n+1/p)$
2) $M(n)=1/p-(n*(1-p)^n)/(1-(1-p)^n)$
3) $M(n)=(1-(1-p)^n)/p$
Ho constatato che la differenza tra la (1) e la (2) sta nel fatto che la seconda si ottiene dividendo la prima per $1-(1-p)^n$. Sono riuscito a ricavare la prima inquanto media delle possibili $i$ estrazioni contenenti un successo per il corrispondente peso probabilistico $p*(1-p)^(i-1)$ perciò mi pare quella corretta, ma la seconda? Quanto alla terza non ho capito donde provenga.

Sono formule note per certi specifici studi, in generale sono poco ricorrenti nell'usuale pratica del "calcolo delle probabilità". Sono tutte tre valide ma risolvono tipi di problemi diversi, per quanto mi riguarda, so che quelle che servono di più sono la seconda e la terza: una da il "costo" parziale, in termini di "numero di tentativi" riusciti (nel senso di uscita dell'evento "favorevole" cercato, p.es., il verde, l'altra da il costo totale perchè tiene conto anche di cicli di estrazioni che non conducono al successo). Tutte tre, tuttavia, danno come risultato limite, per n illimitato, (leggi: risorse illimitate) lo stesso risultato: $1/p$. In pratica questo risultato, per altro piuttosto intuitivo, dice che se un evento considerato "favorevole" ha probabilità "p" di verificarsi in una serie di estrazioni costantemente equiprobabili, tale evento si verificherà "mediamente" quando $\M(n->oo)=1/p$

[ninì2]

"mariodic":[quote="ninì"]Dalla solita urna di palline verdi e rosse, sicchè p sia la probabilità (con reimmissione) di estrarre verde, vengono estratte e reimmesse palline. Se sono disponibili n tentativi qual'è in numero medio di estrazioni $M(n) 1) $M(n)=1/p-(1-p)^n*(n+1/p)$
2) $M(n)=1/p-(n*(1-p)^n)/(1-(1-p)^n)$
3) $M(n)=(1-(1-p)^n)/p$
Ho constatato che la differenza tra la (1) e la (2) sta nel fatto che la seconda si ottiene dividendo la prima per $1-(1-p)^n$. Sono riuscito a ricavare la prima inquanto media delle possibili $i$ estrazioni contenenti un successo per il corrispondente peso probabilistico $p*(1-p)^(i-1)$ perciò mi pare quella corretta, ma la seconda? Quanto alla terza non ho capito donde provenga.

Sono formule note per certi specifici studi, in generale sono poco ricorrenti nell'usuale pratica del "calcolo delle probabilità". Sono tutte tre valide ma risolvono tipi di problemi diversi, per quanto mi riguarda, so che quelle che servono di più sono la seconda e la terza: una da il "costo" parziale, in termini di "numero di tentativi" riusciti (nel senso di uscita dell'evento "favorevole" cercato, p.es., il verde, l'altra da il costo totale perchè tiene conto anche di cicli di estrazioni che non conducono al successo). Tutte tre, tuttavia, danno come risultato limite, per n illimitato, (leggi: risorse illimitate) lo stesso risultato: $1/p$. In pratica questo risultato, per altro piuttosto intuitivo, dice che se un evento considerato "favorevole" ha probabilità "p" di verificarsi in una serie di estrazioni costantemente equiprobabili, tale evento si verificherà "mediamente" quando $\M(n->oo)=1/p$[/quote]Scusami Mariodic se ti ringrazio tardivamente per la tua precisazioni, solo oggi mi è capitato di leggerla. Mi riservo di approfondire il significato delle formule. Grazie ancora.