Trasformazioni di variabili aleatorie
Data la VA $ X~ "Unif"[9,10] $ e la trasformazione $ g(x)=100/x $ , determinare la funzione densità di probabilità PDF dalle VA Y=g(X).
Su questo esercizio ho dei dubbi mi potreste confermare il ragionamento o aiutarmi alla soluzione esatta.
La PDF di $ X~ "Unif"[9,10] $ è $ f_X(x)=1/(b-a)=1/(10-9)=1 " in " [9,10] $ quindi possiamo scrivere:
$ f_X(x)={ ( 1 " in " [9,10] ),( 0 " altrove" ):} $
La PDF di Y è questa:
$ f_Y(g(x))={ ( 100/1=100 " in " [9,10] ),( 0 " altrove" ):} $
E' esatto il procedimento oppure ho sbagliato?
Su questo esercizio ho dei dubbi mi potreste confermare il ragionamento o aiutarmi alla soluzione esatta.
La PDF di $ X~ "Unif"[9,10] $ è $ f_X(x)=1/(b-a)=1/(10-9)=1 " in " [9,10] $ quindi possiamo scrivere:
$ f_X(x)={ ( 1 " in " [9,10] ),( 0 " altrove" ):} $
La PDF di Y è questa:
$ f_Y(g(x))={ ( 100/1=100 " in " [9,10] ),( 0 " altrove" ):} $
E' esatto il procedimento oppure ho sbagliato?
Risposte
Con il secondo metodo che hai usato $ P(100/X≤y)$ non devo conoscere la FDP di g(X) per calcolarla?
Con il teorema fondamentale (che l'OP dovrebbe conoscere visto che l'ha citato nell'altro semplice esercizio) bastava derivare $g^(-1)$ considerandola in valore assoluto e stop, senza fare alcun conto
Quindi la soluzione è banalmente $ g'(x)=-100/x^2 -> |g'(x)|=100/x^2 $
Da $ y=100/x " segue " x=100/y $
Pertanto sfruttando il teorema fondamentale $ f_Y(g(x))=f(x)/(g'(x))=("Unif"[9,10])/100*(100/y)^2 $
Da $ y=100/x " segue " x=100/y $
Pertanto sfruttando il teorema fondamentale $ f_Y(g(x))=f(x)/(g'(x))=("Unif"[9,10])/100*(100/y)^2 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo