Trasformazioni di una variabile aleatoria

[The_Rovs]

Salve a tutti,
vi propongo una tipologia di esercizi che mi crea particolarmente problemi.
"Sia X una variabile aleatoria esponenziale con densità di probabilità
$ f(x) = 2e^(-2x) U(x) $
Considerata la trasformazione
$ Y = g (X) = { ( -3X+6 (per 0 Ricavare
La distribuzione di Y, $ F_y (y) $ e farne il grafico qualitativo.

Ora, il mio problema è il seguente, nello svolgere il procedimento ho operato come segue:
Osservo che si tratta di una trasformazione lineare con pendenza negativa, per cui nel trovare l'intervallo di definizione della nuova variabile Y, devo stare attenta a spezzare in due intervalli, per l'esattezza -21 Comincio a studiare il caso -21 Per definizione di $ Fy (y) $ allora $ Yx_y $ (ricordiamo che ha pendenza negativa)
Ciò significa $ X>(6-y)/3 $
allora $ P(Y<=y)= F_y (y) = P(X>x_y)= 1-F_x (x) $ che essendo un'esponenziale è
$ = 1- (1-e ^((-2(6-y))/3)) $
Mentre il risultato del libro è:
$ F_y(y) = e^((-2(6-y))/3) -e^(-18) $ per -21< y < 0- e aggiunge anche
$ F_y(0-) = e^(-4) -e^(-18) $
Ho notato che l'esponenziale elevato alla -18 è come se avesse applicato -21 al posto di y (Ma Perché?), però continuo a non capire perché inserisce il valore in 0- così senza relazionarlo a nulla.
Qualcuno mi può aiutare a comprendere questi risultati e, soprattutto, il mio errore?

[Lo_zio_Tom]

il risultato del libro è giusto e mi torna perfettamente...manca ancora la F per la parte di supporto $>=0$.

Basta disegnare il grafico della funzione di trasformazione per rendersi conto che la variabile $Y$ non è assolutamente continua ma è una cosiddetta "variabile mista". Essa infatti concentra massa di probabilità positiva in $Y=0$, e precisamente concentra in zero tutta la massa di probabilità che la varibile $X$ distribuisce esponenzialmente nell'intervallo $(9
Una volta capito questo, il resto sono solo calcoli

PS: il tuo calcolo della F non è sbagliato, semplicemente non consideri che la trasformazione lineare si arresta quando $X>9$...se infatti sottrai $P(X>9)$ vedi che ti torna il risultato del libro...

Sempre guardando il grafico della $g(X)$ vedi subito che:

$F_(Y)(y)=S_(X)(g^(-1))-S_(X)(9)=[e^(-2(6-y)/3)-e^(-18)] I_((-21; 0))(y)$

dove $S_(X)(x)=P(X>x)$

Ovviamente per calcolare $F_(Y)(0^-)$ basta sostuire zero nell'espressione della $F_(Y)$ e ti servirà per calcolare $F_(Y)(0)$

per la parte non negativa del supporto avremo

$ F_(Y)(y)=P (X> g^(-1))=e^(-2 (6-y)/3) I_((0; 6))(y) $

ed ovviamente $ F (0)=P (Y <=0)=P (Y=0)+P (Y <0)=P(Y=0)+F_(Y)(0^-)=e^(-4)$

disegnando il grafico della CDF ti accorgerai che, in corrispondenza del valore $Y=0$, la funzione avrà un salto proprio pari a $e^(-18)$, ovvero pari alla probabilità $P(Y=0)$

$U(x)$ come scrivi tu non vuol dire nulla....affinché tutti capiscano è necessario indicare anche il supporto, ovvero $U_((0;+oo))(x)$ oppure $I_((0;+oo))(x)$ oppure $1_((0;+oo))(x)$

così lo capiscono tutti....perfino io

c'est tout

[The_Rovs]

Perdonami, sebbene tu sia stato molto lineare nel procedere, ho ancora diversi dubbi.

"tommik":Essa infatti concentra massa di probabilità positiva in Y=0, e precisamente concentra in zero tutta la massa di probabilità che la varibile X distribuisce esponenzialmente nell'intervallo (9
Vediamo se ho compreso, stai dicendo che essendo una v.a. mista quando vado a studiare l'intervallo -21 Sempre relativamente a questo punto, sebbene si tratti di conti piuttosto semplici non mi tornano ($ P(Y=0) = e^(-18) $)
$ P(Y = 0) = F_y(0) - F_y(0^"-") $ ora, siccome so che $ F_y(Y) = 1 - F_x(x_y) $ e per $ y=0, y=-3x+6 -> x_y=2 $ ora arriva il dubbio che mi fa intendere che sto sbagliando qualcosa $ F_y(0^"-") $ come lo calcolo? Non posso rimettere zero come valore (ossia $ x_y = 2 $) altrimenti mi si annulla tutto quindi cosa ci scrivo? O meglio come avrei dovuto procedere?
(N.B. ho letto che mi hai indirizzata in questo senso

"tommik": Ovviamente per calcolare $F_y(0^"−")$ basta sostuire zero nell'espressione della $F(Y)$ e ti servirà per calcolare $F_y(0)$

Ma non riesco a capire lo svolgimento).
Un altro dubbio che ho è relativo alla massa di probabilità per $P(X>9)$ perché considero nell'intervallo negativo $(-21, 0^"-")$ il caso di X>9 ? Avendo spezzato gli intervalli per la Y, perché quel caso non va considerato per l'intervallo positivo?
Ti ringrazio per la risposta precedente, e spero tu possa aiutarmi ancora


P.s. Mi scuso per l'imprecisione della funzione gradino, effettivamente non voleva dire proprio nulla

[Lo_zio_Tom]

più chiaro di così non penso di riuscire.
Leggi bene la spiegazione che ti ho scritto e seguila passo-passo. Se ancora non riesci a capire il funzionamento magari è necessario ripassare gli argomenti precedenti o trasformazioni di variabile più elementari...questo esercizio è semplice ma un po' insidioso per via della variabile che è nel contempo continua e discreta...

per rispondere ad alcuni tuoi quesiti nota che:

$P(Y=-21^-)=P(X=9^-)=0$

$P(Y=0)=P(X>9)=int_(9)^(+oo)2e^(-2x)dx=-e^(-2x)]_(9)^(+oo)=e^(-18)$

a te cosa risulta invece?

$F_(Y)(0^-)=P(Y<0)$ calcolata qui:

"tommik":...guardando il grafico della $g(X)$ vedi subito che:

$F_(Y)(y)=S_(X)(g^(-1))-S_(X)(9)=[e^(-2(6-y)/3)-e^(-18)] I_((-21; 0))(y)$

dove $S_(X)(x)=P(X>x)$

per risolvere questo genere di problemi occorre sempre partire dal grafico della funzione di trasformazione.
Come puoi notare dall'immagine, la variabile X che distribuisce tutta la massa di probabilità nell'intervallo $(0;+oo)$ viene trasformata in una nuova variabile $Y$ che ha come dominio l'immagine di X, ovvero l'intervallo $(-21;6)$



Ora, come puoi notare dal grafico, nell'intervallo $(9;+oo)$ la X ha una certa massa di probabilità pari a $int_(9)^(+oo)2e^(-2x)dx=e^(-18)$

In questo intervallo l'immagine di X è $Y=0$. Ciò significa che la variabile Y in zero è discreta.

Con lo stesso ragionamento puoi notare che, nell'intervallo $(-21;0)$ la CDF di Y, ovvero

$P(Y<=y)=P((6-y)/3
ecc ecc

(se non è chiaro così mi arrendo...)
cordiali saluti

[The_Rovs]

Ottimo!
Ho capito, sei stato chiarissimo! Effettivamente mi ero buttata immediatamente sulla matematica della soluzione, senza capire troppo a fondo cosa stessi facendo.
Ora, finalmente, ha senso! Grazie!

[michel12]

scusate l intromissione , ma sto cercando delgi esercizi sulle v.a. miste e mi sono imbattuto in questo
diciamo che lo svolgimento dell esercizio è pittosto discontinuo (sto cercando di mettere assieme i vari pezzi dello svolgimento) e sto incontrando alcune difficoltà
innanzitutto per il calcolo della Cdf della y occorre calcolare quella della x che però non capisco come l abbiate definita io l ho calcolata e ottengo
$F(x)=0 $ per x<0
$ -e^(-2x)+1 $ per x diciamo che però nelcalcolo della F(y) viene sottratto quel e^(-18) ,(più o meno ho capito il motivo del perché esiste quel valore ma non so perché viene sottratto)
ma a questo punto però dai risultati che vedo cambia anche la F(x)
purtroppo sto da 2 ore cercando di mettere assieme i pezzi di questo esercizio perché salgo e scendo nei conmenti per trovare quello che devo scrivere sul quaderno volta per volta e al momento sto per confondermi totalmente
forse era meglio se non cercavo esercizi sul sito ,ma adesso che ci sto vorrei capire un attimo come e qual è la cdf della X possibilmente

[michel12]

io sono abituato a sostituire nella F(x) il valore della inversa della trasformazione, quindi se sostituisco in quella F(x) che hai scritto tu( e sul quale io condivido) l inversa ottengo semplicemente
$-e^(-2x)+1$ e non anche quel e^-18
questo mi porta a pensare che la F(x) assume un valore diverso in
$2 altrimenti non mi passerebbe mai per la testa di sottrarre quel e^(-18) se non me lo dice la F(x)
a mio modo di vedere è estremamente difficile mettere assieme i pezzi di questo esercizio (che ho trovato casualmente)
alcune cose le ho capite però ci sono diverse discontinuità che ho ancora
comq forse e meglio se lascio perdere perché ho perso mezza giornata su questo esercizio
grazie mille comunque

[michel12]

il mio dubbio riguarda la F(x)
secondo me
$F(x)= -e^(-2x)+1 $ 0 $ -e^(-2x)+1+ e^(18) $ 2 la deduzione di questa F(x) non mi è chiara neanche a me ,però questo è l unico modo che ho per giustificare il risultato della F(y)
so perfettamente che l esercizio è standard però
ho sempre svolto esercizi su v.a. continue e non miste
e ho cercato quqlche esercizio qui per capire cosa cambia rispetto a quello che ho già fatto io

[michel12]

il mio errore era considerare la $F(9)=1 $
e quindi pensavo che cambiasse la F(x) per trovare una giustificazione . ad ogni modo in questo esercizio calcoliamo la $F(0)$
come se fosse una cosa che facciamo sempre , quando invece in realtà è la prima volta che mi preoccupo di calcolare quel valore (e quindi se non era per te che lo calcoli per me l esercizio finiva li),forse perché ho sempre risolto esercizi su v.a. continue e quindi me ne fregavo
comunque ora il discorso è molto più chiaro
Secondo me questo era un esercizio abbastanza tosto
ti ringrazio tantissimo per tutte le spiegazioni

[michel12]

e
se invece fosse stato
$Y=-3X+6$
per 0 l esercizio sarebbe stato semplice cioè la variabile sarebbe stata continua e quindi non avrei diviso in 2 l intervallo
giusto?(rimanendo immutati gli altri dati dell esercizio )