Trasformazione variabile aleatoria...HELP!!

[AgentZero1]

Ciao a tutti, sono nuovo nel forum

Ho un problema con un esercizio, che mi sta confondendo molto..in pratica ho la seguente funzione: $ f(x,y) = $ $ 1/2(x+y)e^{-(x+y)} $ definita su tutto $ RR^2 $.
Devo trovare la densità di probabilità di z, dove z=x+y.
Ho provato ad applicare la formula con l'integrale (http://it.wikiversity.org/wiki/Trasform ... li_casuali), ma rimane un improponibile integrale tra -oo e +oo.
O forse bisogna semplicemente sostituire z?

[AgentZero1]

"DajeForte":Non ho capito un tubo ma non importa.

Facciamo così consideriamo $f(x,y)=1/2(x+y)e^(-(x+y))$ per $x>0$ e $y>0$; questa funzione è non negativa (tu ora integrala nel primo quadrante e verifica che l'integrale faccia 1).

Ammesso che sia così:

$Z=X+Y$. Per trovarne la distribuzione calcoliamo (z>0) $P(Z
$=1/2int_0^zint_0^(z-x)(x+y)e^(-(x+y))dydx$ ora se li risolvi finirai con una funzione in z che è la funzione di ripartizione.

ok. cosi credo che vada bene. Ma la $x$ non varia tra $0$ e $+oo$?

Ma per trovare direttamente la densità, senza passare dalla funzione di ripartizione(come volevo fare io),non si può utilizzare il teorema della somma di variabili casuali?? $f(z)= int_(-oo)^(+oo) f(x,z-x)dx = int_(-oo)^(+oo) f(z-y,y)dy$

[DajeForte]

Si ma se la x supera il valore z (essendo y positivo) x+y
Credo di si che puoi passare direttamente per il teorema; ti dico credo perchè io o ho sempre applicato in caso di indipendenza, ma penso che se ti ripercorri la dimostrazione non credo ci siano problemi (comunque è meglio che lo verifichi).

[AgentZero1]

"DajeForte":Si ma se la x supera il valore z (essendo y positivo) x+y
Credo di si che puoi passare direttamente per il teorema; ti dico credo perchè io o ho sempre applicato in caso di indipendenza, ma penso che se ti ripercorri la dimostrazione non credo ci siano problemi (comunque è meglio che lo verifichi).

aaaaah ok ok. Per questo utilizzando il teorema di prima non usciva, perchè facevo variare la $x$ o la $y$ tra $0$ e $+oo$. In conclusione, il teorema con lo jacobiano? dovrebbe tornare la stessa densità no?

[DajeForte]

prova, dovrebbe comunque

[AgentZero1]

"DajeForte":prova, dovrebbe comunque

ok. Mi avete schiarito le idee...grazie mille

[DajeForte]

Prego, fai tutto e poi posta i risultati che tra oggi e domani gli do un'occhiata

[AgentZero1]

"DajeForte":Prego, fai tutto e poi posta i risultati che tra oggi e domani gli do un'occhiata

ho svolto l'integrale ed esce $f(z) = 1/2z^2e^(-z)$. Tra l'altro si arrivava allo stesso risultato svolgendo l'integrale che dicevo io, ovvero $ f(z)= int_(-oo)^(+oo) f(x,z-x) dx = int_(-oo)^(+oo) f(z-y,y) dy = int_(0)^(z) 1/2ze^(-z) dx$. Ho verificato la proprietà di normalizzazione, e l'integrale tra $0$ e $+oo$ esce 1, quindi è una densità. Dovrebbe esser tutto corretto.