Trasformazione variabile aleatoria...HELP!!
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum 
Ho un problema con un esercizio, che mi sta confondendo molto..in pratica ho la seguente funzione: $ f(x,y) = $ $ 1/2(x+y)e^{-(x+y)} $ definita su tutto $ RR^2 $.
Devo trovare la densità di probabilità di z, dove z=x+y.
Ho provato ad applicare la formula con l'integrale (http://it.wikiversity.org/wiki/Trasform ... li_casuali), ma rimane un improponibile integrale tra -oo e +oo.
O forse bisogna semplicemente sostituire z?
Ho un problema con un esercizio, che mi sta confondendo molto..in pratica ho la seguente funzione: $ f(x,y) = $ $ 1/2(x+y)e^{-(x+y)} $ definita su tutto $ RR^2 $.
Devo trovare la densità di probabilità di z, dove z=x+y.
Ho provato ad applicare la formula con l'integrale (http://it.wikiversity.org/wiki/Trasform ... li_casuali), ma rimane un improponibile integrale tra -oo e +oo.
O forse bisogna semplicemente sostituire z?
Risposte
perchè improponibile?
per esempio per calcolare $F_Z$
l'integrale più interno è in $dy$, poi una volta risolto fai tutto l'integrale in $dx$
prova a postare i calcoli!
per esempio per calcolare $F_Z$
l'integrale più interno è in $dy$, poi una volta risolto fai tutto l'integrale in $dx$
prova a postare i calcoli!
"itpareid":
perchè improponibile?
per esempio per calcolare $F_Z$
l'integrale più interno è in $dy$, poi una volta risolto fai tutto l'integrale in $dx$
prova a postare i calcoli!
la densità della somma di due variabili aleatorie continue è cosi: $ f(z) = int_(-oo )^(+oo ) f(x, z-x) dx $ oppure $ f(z) = int_(-oo )^(+oo ) f(z-y, z) dy .
Eseguendo, per esempio, il primo integrale, rimane un integrale in $ dx $ della funzione in z, o sbaglio?
in pratica sostituisci $y=z-x$, ti ritrovi (sotto l'integrale) con una funzione in $x$ e $z$ che devi integrare rispetto ad $x$, perché la $f(z)$ dovrà dipendere da $z$
"itpareid":
in pratica sostituisci $y=z-x$, ti ritrovi (sotto l'integrale) con una funzione in $x$ e $z$ che devi integrare rispetto ad $x$, perché la $f(z)$ dovrà dipendere da $z$
ma se l'integrale è in $x$, e la funzione dentro l'integrale dipende solo da z, allora questa non può essere vista come una costante che posso portare fuori dal segno di integrale?
sì, però di solito dentro l'integrale non hai qualcosa che dipende solo da $z$
"AgentZero":
$ f(x,y) = $ $ 1/2(x+y)e^{-(x+y)} $ definita su tutto $ RR^2 $.
Qua c'è qualcosa che non va
"itpareid":
sì, però di solito dentro l'integrale non hai qualcosa che dipende solo da $z$
lo so, però purtroppo è così..
ho provato anche ad utilizzare una variabile ausiliaria(del tipo $x=u$ e poi il teorema delle v.a. trasformate(quello con lo jacobiano per intenderci). Torna semplicemente la funzione di partenza dove al posto di $x+y$ c'è $z$
"DajeForte":
Qua c'è qualcosa che non va
la funzione è così come l'ho scritta...
prova a farlo passando per la funzione di distribuzione $F_Z(z)$
"AgentZero":
[quote="DajeForte"]Qua c'è qualcosa che non va
la funzione è così come l'ho scritta...[/quote]
Allora non è una funzione di densità.
altrimenti prova con il teorema che hai detto prima (v.a. trasformate) con $u=x+y$ e $v=x$
"itpareid":
prova a farlo passando per la funzione di distribuzione $F_Z(z)$
non ho capito cosa vuoi dire...comunque con il teorema delle v.a. trasformate torna la funzione di prima, con $z$ al posto di $x+y$ .
"DajeForte":
[quote="AgentZero"][quote="DajeForte"]Qua c'è qualcosa che non va
la funzione è così come l'ho scritta...[/quote]
Allora non è una funzione di densità.[/quote]
perchè non dovrebbe esserlo?
"itpareid":
prova a farlo passando per la funzione di distribuzione $F_Z(z)$
non ho capito cosa vuoi dire...comunque con il teorema delle v.a. trasformate torna la funzione di prima, con $z$ al posto di $x+y$ .
"DajeForte":
[quote="AgentZero"][quote="DajeForte"]Qua c'è qualcosa che non va
la funzione è così come l'ho scritta...[/quote]
Allora non è una funzione di densità.[/quote]
perchè non dovrebbe esserlo?
Perchè può assumere valori negativi (mettici ad esempio il punto x=-1; y=-2).
Prova a vedere se c'è la condizione $x>0$ e $y>0$. Ti ricordo inoltre che l'integrale della densità deve dare 1.
Prova a vedere se c'è la condizione $x>0$ e $y>0$. Ti ricordo inoltre che l'integrale della densità deve dare 1.
@AgentZero: per curiosità, dove studi?
"DajeForte":
Perchè può assumere valori negativi (mettici ad esempio il punto x=-1; y=-2).
Prova a vedere se c'è la condizione $x>0$ e $y>0$. Ti ricordo inoltre che l'integrale della densità deve dare 1.
ah già..certo. Probabilmente c'era quella condizione, ho sbagliato a ricopiare allora..ma in ogni modo, il problema non erano tanto gli estremi, ma l'integrale in $dx$ con la funzione dipendente solamente da $z$..
"itpareid":
@AgentZero: per curiosità, dove studi?
Perugia, ingegneria informatica
Non sono riuscito a capire dove ti sei arenato. Posti i passaggi che fai così lo vediamo e lo risolviamo.
vi fanno fare roba pesa ad ingegneria...
comunque sì, ha ragione dajeforte, ci devono essere "limitazioni" sul dominio perchè la tua $f$ possa essere una densità.
quello che ti suggerivo di fare (ma non so se ti porta a qualcosa) è di fare il cambio di variabile così da avere $x=v$ e $y=u-v$, poi calcolarti lo jacobiano per applicare il teorema (che tra l'altro adesso non ricordo e non so dove andare a reperire...).
comunque sì, ha ragione dajeforte, ci devono essere "limitazioni" sul dominio perchè la tua $f$ possa essere una densità.
quello che ti suggerivo di fare (ma non so se ti porta a qualcosa) è di fare il cambio di variabile così da avere $x=v$ e $y=u-v$, poi calcolarti lo jacobiano per applicare il teorema (che tra l'altro adesso non ricordo e non so dove andare a reperire...).
"itpareid":
vi fanno fare roba pesa ad ingegneria...
comunque sì, ha ragione dajeforte, ci devono essere "limitazioni" sul dominio perchè la tua $f$ possa essere una densità.
quello che ti suggerivo di fare (ma non so se ti porta a qualcosa) è di fare il cambio di variabile così da avere $x=v$ e $y=u-v$, poi calcolarti lo jacobiano per applicare il teorema (che tra l'altro adesso non ricordo e non so dove andare a reperire...).
si ci fanno sudare davvero -.- ed è una materia da soli 6 crediti!!
con il teorema esce $f(z)=1/2ze^-z$ . Infatti lo jacobiano è 1, quindi basta fare $f(u,v)=f(x=v,y=u-v)$.
"DajeForte":
Non sono riuscito a capire dove ti sei arenato. Posti i passaggi che fai così lo vediamo e lo risolviamo.
$f(z) = int_(-oo)^(+oo) f(x,z-x) dx = int_(0)^(+oo) 1/2ze^-z dx$
integrando per parti dovrebbe uscire 1/2, valore impossibile per la densità!
Non ho capito un tubo ma non importa.
Facciamo così consideriamo $f(x,y)=1/2(x+y)e^(-(x+y))$ per $x>0$ e $y>0$; questa funzione è non negativa (tu ora integrala nel primo quadrante e verifica che l'integrale faccia 1).
Ammesso che sia così:
$Z=X+Y$. Per trovarne la distribuzione calcoliamo (z>0) $P(Z
$=1/2int_0^zint_0^(z-x)(x+y)e^(-(x+y))dydx$ ora se li risolvi finirai con una funzione in z che è la funzione di ripartizione.
Facciamo così consideriamo $f(x,y)=1/2(x+y)e^(-(x+y))$ per $x>0$ e $y>0$; questa funzione è non negativa (tu ora integrala nel primo quadrante e verifica che l'integrale faccia 1).
Ammesso che sia così:
$Z=X+Y$. Per trovarne la distribuzione calcoliamo (z>0) $P(Z
$=1/2int_0^zint_0^(z-x)(x+y)e^(-(x+y))dydx$ ora se li risolvi finirai con una funzione in z che è la funzione di ripartizione.
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