Trasformazione v.a Cauchy standard
salve ho un problema con il seguente esercizio:
Sia data una variabile X con distribuzione Cauchy Standard. Determinare la densità e la funzione di ripartizione della variabile $Z=1/(1+1/X)$
Ho impostato l'esercizio tramite il metodo della funzione di ripartizione:
$P(1/(1+1/X)
Dato che la cauchy standard ha come supporto R allora ho che se $1-z>0$:
$\int_{-\infty}^{z/(1-z)}f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{z/(1-z)}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx=arctan\frac{1}{(\frac{z}{1-z})^2+1}+\frac{1}{2}$
Se invece risulta $1-z<0$ allora si ottiene $P(1/(1+1/X)z/(1-z))= 1-P(X
derivando le due espressioni ottengo: $\frac{1}{\pi}\frac{1}{z^2+(1-z)^2}$ che è uguale al risultato della soluzione ma i passaggi intermedi sono completamente differenti.... mi domandavo se fosse giusto il ragionamento fatto.
Sia data una variabile X con distribuzione Cauchy Standard. Determinare la densità e la funzione di ripartizione della variabile $Z=1/(1+1/X)$
Ho impostato l'esercizio tramite il metodo della funzione di ripartizione:
$P(1/(1+1/X)
Dato che la cauchy standard ha come supporto R allora ho che se $1-z>0$:
$\int_{-\infty}^{z/(1-z)}f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{z/(1-z)}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx=arctan\frac{1}{(\frac{z}{1-z})^2+1}+\frac{1}{2}$
Se invece risulta $1-z<0$ allora si ottiene $P(1/(1+1/X)
derivando le due espressioni ottengo: $\frac{1}{\pi}\frac{1}{z^2+(1-z)^2}$ che è uguale al risultato della soluzione ma i passaggi intermedi sono completamente differenti.... mi domandavo se fosse giusto il ragionamento fatto.
Risposte
No è sbagliato e gli errori sono parecchi. Seguendo le istruzioni della traccia, ovvero passando per la distribuzione di $Y=1/X$ che è sempre una Cauchy standard, ti si semplificano molto le cose. Volendo fare come hai fatto tu si può comunque fare ma devi stare molto più attento agli estremi di integrazione che risultano i seguenti:
$z<1$
$F_Z(z)=int_(-1)^(z/(1-z))1/pi1/(1+x^2)dx=1/4+1/piarctan(z/(1-z))$
Ora osserva che $F(-oo)=0$ come deve essere ed inoltre $F(1^-)=3/4$
A questo punto, facendo MOLTA attenzione ai segni ed al verso della disuguaglianza hai che per
$z>1$ la CDF è
$F=3/4+ int_(-oo)^(z/(1-z))1/pi 1/(1+x^2)dx=5/4 +1/ piarctan(z/(1-z))$
Come puoi osservare in questo caso la funzione di ripartizione è valida[nota]e, sebbene esposta diversamente, è esattamente la stessa cosa dell'espressione riportata nella soluzione del tuo libro[/nota] in quanto rispetta tutte le proprietà caratterizzanti
$F(1^+)=3/4=F(1^-)$
$F(+oo)=5/4-1/4=1$
Derivandola trovi ovviamente il risultato corretto ma deve essere corretta anche la CDF.
È quindi consigliabile seguire le istruzioni della traccia (della foto che hai postato nell'altro topic) . I passaggi proposti lì sono corretti ad eccezione di un chiaro refuso: ad un certo punto aggiunge $P(Y<0)$ mentre dovrebbe essere $P(W<0)$ per ovvi motivi.
Il tuo approccio, sebbene più "incasinato" può essere molto didattico per imparare ad impostare bene questi integrali.
Spero di esserti stato di aiuto...
$z<1$
$F_Z(z)=int_(-1)^(z/(1-z))1/pi1/(1+x^2)dx=1/4+1/piarctan(z/(1-z))$
Ora osserva che $F(-oo)=0$ come deve essere ed inoltre $F(1^-)=3/4$
A questo punto, facendo MOLTA attenzione ai segni ed al verso della disuguaglianza hai che per
$z>1$ la CDF è
$F=3/4+ int_(-oo)^(z/(1-z))1/pi 1/(1+x^2)dx=5/4 +1/ piarctan(z/(1-z))$
Come puoi osservare in questo caso la funzione di ripartizione è valida[nota]e, sebbene esposta diversamente, è esattamente la stessa cosa dell'espressione riportata nella soluzione del tuo libro[/nota] in quanto rispetta tutte le proprietà caratterizzanti
$F(1^+)=3/4=F(1^-)$
$F(+oo)=5/4-1/4=1$
Derivandola trovi ovviamente il risultato corretto ma deve essere corretta anche la CDF.
È quindi consigliabile seguire le istruzioni della traccia (della foto che hai postato nell'altro topic) . I passaggi proposti lì sono corretti ad eccezione di un chiaro refuso: ad un certo punto aggiunge $P(Y<0)$ mentre dovrebbe essere $P(W<0)$ per ovvi motivi.
Il tuo approccio, sebbene più "incasinato" può essere molto didattico per imparare ad impostare bene questi integrali.
Spero di esserti stato di aiuto...
Anzitutto grazie mille dell'aiuto. Mi rimane poco chiaro perchè per z<1 l'integrale ha come estremo di integrazione -1 e non -∞.
Fai un grafico dell'iperbole e te ne accorgi subito.
Tu parti da questa definizione
$P(X/(X+1)
Quindi se fai bene i passaggi trovi che quell'espressione è uguale a
$P(X -1$ e $z<1$
Proseguendo le cose si ingarbugliano ancora di più. È per questo motivo che il tuo libro ha fatto un'altra strada, più lineare
Tu parti da questa definizione
$P(X/(X+1)
Quindi se fai bene i passaggi trovi che quell'espressione è uguale a
$P(X
Proseguendo le cose si ingarbugliano ancora di più. È per questo motivo che il tuo libro ha fatto un'altra strada, più lineare
quindi la condizione di x>-1 è dovuta al fatto che al fine di mantenere verso alla disuguaglianza per passare dalla prima che hai scritto alla seconda è necessario che X+1 sia positivo?
Però a questo punto quando noi imponiamo z>1 non dobbiamo sempre distinguere il caso di x>-1 o x<-1??
Perchè se z>1 e x>-1 allora otteniamo una disuguaglianza come la seconda scritta nel tuo precedente messaggio coma con il verso invertito, mentre invece se x<-1 La medesima disuguaglianza del caso z<1 corretto?
Ps. purtroppo trovo difficoltà nel ragionare su queste disuguaglianze... perchè ad esempio prendendo come fa il libro si ha che:
$P(\frac{1}{1+Y}\frac{1}{z})=P(Y>\frac{1-z}{z})$
caso z<0: al fine di poter verificare la disuguaglianza devo avere che il membro di sinistra sia negativo. Quindi dobbiamo imporre che y<-1.
Per il caso z>0 ho qualche dubbio. Se risulta che Z=1/1+Y <0 allora la disuguaglianza è verificata ed infatti ho la probabilità P(W<0). Mentre invece se Z>0 ovvero y>-1 allora ho che l'integrale parte da 1-z/z
Immagino che fare uno schema che generalizzi la risoluzione di un esercizio di questo tipo sia impossibile vero?
Però intanto ho capito che si deve giocare molto con il verso del parametro e della funzione della variabile aleatoria, quindi qualcosa sto iniziando a capirla... almeno spero
Grazie mille per l'aiuto e sopratutto per la pazienza
Perchè se z>1 e x>-1 allora otteniamo una disuguaglianza come la seconda scritta nel tuo precedente messaggio coma con il verso invertito, mentre invece se x<-1 La medesima disuguaglianza del caso z<1 corretto?
Ps. purtroppo trovo difficoltà nel ragionare su queste disuguaglianze... perchè ad esempio prendendo come fa il libro si ha che:
$P(\frac{1}{1+Y}
caso z<0: al fine di poter verificare la disuguaglianza devo avere che il membro di sinistra sia negativo. Quindi dobbiamo imporre che y<-1.
Per il caso z>0 ho qualche dubbio. Se risulta che Z=1/1+Y <0 allora la disuguaglianza è verificata ed infatti ho la probabilità P(W<0). Mentre invece se Z>0 ovvero y>-1 allora ho che l'integrale parte da 1-z/z
Immagino che fare uno schema che generalizzi la risoluzione di un esercizio di questo tipo sia impossibile vero?
Però intanto ho capito che si deve giocare molto con il verso del parametro e della funzione della variabile aleatoria, quindi qualcosa sto iniziando a capirla... almeno spero
Grazie mille per l'aiuto e sopratutto per la pazienza
Sono passaggi elementari che si fanno alle superiori....se hai problemi qui ti consiglio di fare un bel ripasso....lo so son cose noiose ma devi saperle fare....
Come fa il libro ottiene
$P(1/(1+Y)
Poni ad esempio $y> -1$ che implica $z>0$. Vai avanti e trovi $P(Y>(1-z)/z)$ che è la parte sopra l'iperbole, ovvero $int_((1-z)/z)^(+oo)f(y)dy$. Qui però siamo in $z>0$ e quindi ci va aggiunta anche $F(0)=P(Z<=0)$ che però ancora non hai calcolato.
Quando analizzi la parte $z<0$ ovvero anche $y< -1$ troverai sempre
$P(Y>(1-z)/z)$ ovvero sempre la parte sopra l'iperbole.... ma sotto $y=-1$ quindi $int_((1-z)/z)^(-1)f(y)dy$
Che mi sembra un ragionamento più lineare....devi fare molti esercizi anche perché dopo le cose si complicano mooolto di più
Consiglio: disegna i grafici di entrambe le iperbole, la tua e quella del libro e cerca di capire quali siano le aree interessate dalla CDF. Nell'impostazione del libro viene sempre la parte sopra mentre nella tua (più ingarbugliata) viene sempre la parte sotto alla curva
Come fa il libro ottiene
$P(1/(1+Y)
Poni ad esempio $y> -1$ che implica $z>0$. Vai avanti e trovi $P(Y>(1-z)/z)$ che è la parte sopra l'iperbole, ovvero $int_((1-z)/z)^(+oo)f(y)dy$. Qui però siamo in $z>0$ e quindi ci va aggiunta anche $F(0)=P(Z<=0)$ che però ancora non hai calcolato.
Quando analizzi la parte $z<0$ ovvero anche $y< -1$ troverai sempre
$P(Y>(1-z)/z)$ ovvero sempre la parte sopra l'iperbole.... ma sotto $y=-1$ quindi $int_((1-z)/z)^(-1)f(y)dy$
Che mi sembra un ragionamento più lineare....devi fare molti esercizi anche perché dopo le cose si complicano mooolto di più
Consiglio: disegna i grafici di entrambe le iperbole, la tua e quella del libro e cerca di capire quali siano le aree interessate dalla CDF. Nell'impostazione del libro viene sempre la parte sopra mentre nella tua (più ingarbugliata) viene sempre la parte sotto alla curva
Mi eserciterò di più, grazie mille per l'aiuto 
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