Trasformazione non monotona di variabile uniforme

[Pigreco2016]

Non riesco a svolgere questo esercizio:
Data la v.a $ X $ con distribuzione $ "Unif" (0,2) $ trovare la distribuzione della v.a. $ Y=X/|X-1| $
So che devo dividere l'intervallo della v.a. $ X $ in due intervalli in cui la trasformazione abbia inversa univoca ed essi sono
$ (0,1) $ con $ X=Y/(Y+1) $ e $ (1,2) $ con $ X=Y/(Y-1) $ però poi non so più che fare. Il risultato per la funzione di distribuzione è
$ F_y(y)= 1/2 y/(y+1) $ se $ 02 $

[Lo_zio_Tom]

Basta sostituire $ g^(-1)(y ) $ in $ F (x)=x/2$

Tieni presente che quando la funzione di trasformazione è decrescente $ F (y )=1-F (x) $

Sono in vacanza e più di così non posso aiutarti...ma è davvero molto semplice.

Esiste anche una formula che permette di trovare direttamente la densità di $ y $.

[Pigreco2016]

Non mi sembra così tanto semplice per ora. Vorrei svolgerlo in maniera completa e dettagliata. Io inizierei dicendo:
$ F_{Y}(y)=P(Yy/(y-1)])=
= P(Xy/(y-1))= P(X = F_{X}(y/(y+1))+1-F_{X}(y/(y-1))$
Poi eseguo la derivata per arrivare alla densità:
$ f_{Y}(y)=f_{X}(y/(y+1))-f_{X}(y/(y-1))= 1/(2(y+1)^2)+1/(2(y-1)^2) = (y^2+1)/(y^2-1)^2 $
Qua ho già ottenuto la derivata del risultato presente nella soluzione per quanto riguarda $ y>2 $. Ma ora non so come dedurre che quello che ho appena ottenuto sia valido per $ y>2 $ e neanche come continuare l'esercizio.

[Lo_zio_Tom]

Inizia a disegnare il grafico di $g(x)= x/(|x-1|) $

Ti accorgi che nell'intervallo $0
$ P (Y <=y )=P (x <=g^(-1)(y))=F_(X)(y/(y+1))=1/2 y/(y+1) $


E la prima parte è fatta

Per la seconda parte, quella con immagine $2
$ P (Y> y)=P (y/(y+1 )
Quindi, essendo$ F (y)=1-P (Y> y) $

Ottieni subito il risultato.

Ciao

[Pigreco2016]

Grandissimo. Grazie mille La strategia mi sembra leggermente "artigianale" però pure questa è una soluzione elegante. Io volevo passare prima dalla funzione densità e poi integrare