Trasformazione non lineare di variabile aleatoria
Ciao a tutti,
avevo un problema con un esercizio di questo tipo.
Sia \(X \) una v.a con media \(4 \) e coefficiente di variazione \( CV=10% \).
Supponendo che sia distribuita uniformemente, si trovi la densità di \(Y=X^4+5X \)
Quello che ho fatto è stato unicamente ricavare i parametri della uniforme.
Per quanto riguarda la densità di Y, non saprei da dove partire anche perchè la trasformazione non è monotona
e, pur essendo invertibile a tratti, non è facile invertirla in quanto si tratta di un polinomio di quarto grado.
Quindi non mi risulta fattibile nè con la definizione di funzione di ripartizione, nè con la classica formula del
teorema fondamentale.
avevo un problema con un esercizio di questo tipo.
Sia \(X \) una v.a con media \(4 \) e coefficiente di variazione \( CV=10% \).
Supponendo che sia distribuita uniformemente, si trovi la densità di \(Y=X^4+5X \)
Quello che ho fatto è stato unicamente ricavare i parametri della uniforme.
Per quanto riguarda la densità di Y, non saprei da dove partire anche perchè la trasformazione non è monotona
e, pur essendo invertibile a tratti, non è facile invertirla in quanto si tratta di un polinomio di quarto grado.
Quindi non mi risulta fattibile nè con la definizione di funzione di ripartizione, nè con la classica formula del
teorema fondamentale.
Risposte
$f_Y(y)={{: ( 0 , ;" se l'equazione " y=g(x) " non ha soluzioni" ),( 1/138Sigma_i1/(|g'(x_i)|) , ;" dove "x_i" è una soluzione dell'equazione "y=g(x) ) :}$
permangono i problemi di calcolo che hai evidenziato ma è un problema di Matematica, non di Statistica.
saluti
permangono i problemi di calcolo che hai evidenziato ma è un problema di Matematica, non di Statistica.
saluti
Intanto ti ringrazio molto per la risposta.
In seguito provo ad abbozzare un tentativo per bypassare il carico computazionale sebbene, premetto, trattasi di una forzatura.
Ho immaginato di "spezzare" la funzione in questo modo:
\( Y = \underbrace{X^3} + \underbrace{5X} \)
In tal modo definisco due v.a. \(W=X^3 \) e \(K=5X \) , risultanti da trasformazioni monotone di \(X \), quindi di densità ricavabile.
Così facendo \(Y \) risulterebbe dalla semplice somma delle due definite sopra e la sua densità risulterà dall'integrazione della densità congiunta di \(W \) e \(K \) sopra un'opportuna restrizione del dominio dato dal prodotto cartesiano dei supporti di \(W \) e \(K \).
Tale metodo risolutivo presuppone però che sia ricavabile la congiunta, e questo è possibile solo supponendo che le due variabili trovate siano indipendenti, cosa che effettivamente non so.
Ringrazio ancora.
In seguito provo ad abbozzare un tentativo per bypassare il carico computazionale sebbene, premetto, trattasi di una forzatura.
Ho immaginato di "spezzare" la funzione in questo modo:
\( Y = \underbrace{X^3} + \underbrace{5X} \)
In tal modo definisco due v.a. \(W=X^3 \) e \(K=5X \) , risultanti da trasformazioni monotone di \(X \), quindi di densità ricavabile.
Così facendo \(Y \) risulterebbe dalla semplice somma delle due definite sopra e la sua densità risulterà dall'integrazione della densità congiunta di \(W \) e \(K \) sopra un'opportuna restrizione del dominio dato dal prodotto cartesiano dei supporti di \(W \) e \(K \).
Tale metodo risolutivo presuppone però che sia ricavabile la congiunta, e questo è possibile solo supponendo che le due variabili trovate siano indipendenti, cosa che effettivamente non so.
Ringrazio ancora.
Chiedo scusa,
si tratta di \(X^4 \).
In ogni caso c'è un esercizio del tutto identico, ma con \(X^3 \), ecco perchè mi sono sbagliato.
Anche in quell'eventualità il problema che si pone è lo stesso: non si riuscirebbe a trovare le radici del polinomio (se non utilizzando le formule cardaniche, cosa del tutto improbabile).
Penso che, quindi, dovesse mai capitarmi un esercizio di questo tipo, lo risolverei nel modo indicato da te sopra, senza esplicitare i calcoli.
Studio Bioingegneria comunque.
si tratta di \(X^4 \).
In ogni caso c'è un esercizio del tutto identico, ma con \(X^3 \), ecco perchè mi sono sbagliato.
Anche in quell'eventualità il problema che si pone è lo stesso: non si riuscirebbe a trovare le radici del polinomio (se non utilizzando le formule cardaniche, cosa del tutto improbabile).
Penso che, quindi, dovesse mai capitarmi un esercizio di questo tipo, lo risolverei nel modo indicato da te sopra, senza esplicitare i calcoli.
Studio Bioingegneria comunque.
L'esercizio "tipo" esordisce senza dare la distribuzione di partenza di \(X \) e chiede di stimare media e varianza della distribuzione di \(Y \). Questo è facilemente risolvibile linearizzando la trasformazione intorno alla media di \( X \).
Successivamente introduce il fatto che \(X \) è distribuita come un'uniforme (normale, earlang-k, ecc...) e chiede di trovare la densità esatta di \(Y \) e, partendo da quella, trovare i valori esatti di media e varianza e confrontarli con quelli approssimati.
Il problema, come appunto detto, è il caso in cui capiti una trasformazione di quel tipo.
In ogni caso ti ringrazio per le dritte e per il tempo dedicatomi.
Successivamente introduce il fatto che \(X \) è distribuita come un'uniforme (normale, earlang-k, ecc...) e chiede di trovare la densità esatta di \(Y \) e, partendo da quella, trovare i valori esatti di media e varianza e confrontarli con quelli approssimati.
Il problema, come appunto detto, è il caso in cui capiti una trasformazione di quel tipo.
In ogni caso ti ringrazio per le dritte e per il tempo dedicatomi.
boh mi sembrano esercizi del tutto standard, a parte la difficoltà di inversione della funzione di trasformazione. Dato che la cosa mi interessa prova a chiedere chiarimenti al prof....magari c'è qualche proprietà che mi sfugge.
PS: media e varianza esatte si possono calcolare anche senza avere la distribuzione di Y
EDIT:
Pensa e ripensa una soluzione l'avrei anche trovata....
$F_Y(y)={{: ( 0 , ;y<-4 ),( (x_2-x_1)/138 , ;-4<=y<17.850.300 ),( (x_3+65)/138 , ;17.850.300<=y<28.398.606 ),( 1 , ;y>= 28.398.606) :}$
dove $x_i$ sono i punti di inversione della $y=g(x)$. Per ogni valore di $y in S_Y$ sono in grado di calcolare qualunque probabilità richiesta, velocemente e senza utilizzare software. Non è proprio la richiesta di trovare l'espressione analitica della densità ma risolve il problema pratico.
Esempio: Calcolare $P(10*10^6
$P(X<66.87)-P(X<56.23)+P(X<-56.23)=(66.87-56.23-56.23+65)/138=14.1%$
ecc ecc
PS: media e varianza esatte si possono calcolare anche senza avere la distribuzione di Y
EDIT:
Pensa e ripensa una soluzione l'avrei anche trovata....
$F_Y(y)={{: ( 0 , ;y<-4 ),( (x_2-x_1)/138 , ;-4<=y<17.850.300 ),( (x_3+65)/138 , ;17.850.300<=y<28.398.606 ),( 1 , ;y>= 28.398.606) :}$
dove $x_i$ sono i punti di inversione della $y=g(x)$. Per ogni valore di $y in S_Y$ sono in grado di calcolare qualunque probabilità richiesta, velocemente e senza utilizzare software. Non è proprio la richiesta di trovare l'espressione analitica della densità ma risolve il problema pratico.
Esempio: Calcolare $P(10*10^6
$P(X<66.87)-P(X<56.23)+P(X<-56.23)=(66.87-56.23-56.23+65)/138=14.1%$
ecc ecc
Va bene, ti farò sapere a breve
Ti ringrazio ancora, buona serata
Ti ringrazio ancora, buona serata
Incredibile come possa essere complesso nei calcoli l'esercizio...
Comunque sia mi auguro basti l'espressione analitica senza calcoli svolti.
Per la media e la varianza applicherei la regola:
\(E[Y]=E[g(X)]= \int_S g(x)f_X(x)dx\)
con \(S\) supporto di \(Y\)
Per la varianza
\(Var[Y]=E[(Y-\mu_Y)^2]=E[g(X)]^2 - E^2[g(X)] \)
Comunque sia mi auguro basti l'espressione analitica senza calcoli svolti.
Per la media e la varianza applicherei la regola:
\(E[Y]=E[g(X)]= \int_S g(x)f_X(x)dx\)
con \(S\) supporto di \(Y\)
Per la varianza
\(Var[Y]=E[(Y-\mu_Y)^2]=E[g(X)]^2 - E^2[g(X)] \)
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