Trasformazione funzione di probabilità di massa pdf

[robè2]

Salve a tutti
Volevo chiedervi una domanda a proposito di trasformazione della pdf(cdf) di una variabile aleatoria.
La situazione è la seguente:
Data la variabile aleatoria $ bar(z) $ con pdf $ text(f)_bar(z)(z) $
Vogliamo trovare una funzione $ h(bar(z))=bar(y) $ dove $ h(.) $ è una funzione biiettiva e monotona crescente e tale che si abbia una data pdf per $ bar(y) $
La dimostrazione parte quindi con il definere la probabilità di trovarsi in intorno di un dato valore assunto dalla variabile aleatoria $ y $
$ P(bar(y)in [y-dy,y+dy])= f_bar(y)(y)dy $
E fin a quì nessun problema, poi dice che
$ f_bar(y)(y)dy=f_bar(z)(h^(-1)(y))dz $
Ed è proprio questa relazione che non riesco a dimostrami
Grazie dell'attenzione

[Lo_zio_Tom]

"robè":...poi dice che
$ f_bar(y)(y)dy=f_bar(z)(h^(-1)(y))dz $
Ed è proprio questa relazione che non riesco a dimostrami

Io partirei dalla definizione di CDF.

Si abbia $Y=g(X)$ monotona crescente e una variabile $X$ dotata di CDF $F_X$

$F_Y(y)=P{Y<=y}=P{g(X)<=y}=P{X<=g^(-1)(y)}=F_X(g^(-1)(y))$

derivi e trovi subito il risultato cercato:

$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)(y)$

e se invece la $g(X)$ fosse monotona decrescente? cambierebbe qualche cosa? Evidentemente no, perché avresti

$F_Y(y)=P{Y<=y}=P{g(X)<=y}=P{X>g^(-1)(y)}=1-F_X(g^(-1)(y))$

derivando e considerando che in questo caso la derivata di $g^(-1)(y)$ è negativa il risultato non cambia, a parte il fatto di mettere la derivata in valore assoluto

Quindi, se la funzione di trasformazione è monotona, crescente o decrescente, poco cambia: ottieni sempre che

$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$


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vediamo anche un esempio numerico:
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Sia $X$ dotata di $f_X(x)=3x^2I_((0;1))(x)$

e $Y=-log(X)$

applicando la formula otteniamo

$f_(Y)(y)=3e^(-3y)I_((0;+oo))(y)$

ovvero una distribuzione esponenziale negativa di media $1/3$

[robè2]

Veloce e preciso
Grazie mille della risposta