Trasformazione di variabili uniformi
Ciao a tutti, ci sarebbe qualche anima pia che sia disposto a spiegarmi questo esercizio? 
Siano X, Y indipendenti e con distribuzione uniforme in [0, 1]. Calcolare la distribuzione di Y-2X.
Siano X, Y indipendenti e con distribuzione uniforme in [0, 1]. Calcolare la distribuzione di Y-2X.
Risposte
È necessario che tu inserisca una bozza di soluzione, così come previsto dal nostro regolamento.
Comunque l'esercizio è di facile soluzione utilizzando la regola generale per queste trasformazioni:
$F_Z(z)=int int _(g (X,Y)<=z)f (x,y) dxdy $
Inoltre, dato che le marginali sono costanti e iiid con $f_X=f_Y =1$ l'integrale coincide con l'area del dominio di integrazione
Quindi inizia a calcolare il dominio di $Z $, fai il grafico della funzione di trasformazione, la fai variare all'interno del dominio delle due marginali e vedi che succede....devi calcolare la seguente funzione
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(Y-2X<=z)=P(Y<=2X+z)$ nel quadrato $[0;1]xx[0;1]$
Ovviamente inserendo le formule con l'apposito compilatore in modo da renderle leggibili a tutti...vedrai che non è difficile .
A conti fatti troverai che
$
F_Z (z)-={{: ( 0 , ;z <-2 ),( (z+2)^2/4, ;-2 <=z <-1 ),( 3/4+z/2 , ;-1 <=z <0 ),( 1-(1-z)^2/4 , ;0 <=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :} $
Se volessi calcolare la densità di z basterebbe fare la derivata di F
Saluti
Comunque l'esercizio è di facile soluzione utilizzando la regola generale per queste trasformazioni:
$F_Z(z)=int int _(g (X,Y)<=z)f (x,y) dxdy $
Inoltre, dato che le marginali sono costanti e iiid con $f_X=f_Y =1$ l'integrale coincide con l'area del dominio di integrazione
Quindi inizia a calcolare il dominio di $Z $, fai il grafico della funzione di trasformazione, la fai variare all'interno del dominio delle due marginali e vedi che succede....devi calcolare la seguente funzione
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(Y-2X<=z)=P(Y<=2X+z)$ nel quadrato $[0;1]xx[0;1]$
Ovviamente inserendo le formule con l'apposito compilatore in modo da renderle leggibili a tutti...vedrai che non è difficile .
A conti fatti troverai che
$
F_Z (z)-={{: ( 0 , ;z <-2 ),( (z+2)^2/4, ;-2 <=z <-1 ),( 3/4+z/2 , ;-1 <=z <0 ),( 1-(1-z)^2/4 , ;0 <=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :} $
Se volessi calcolare la densità di z basterebbe fare la derivata di F
Saluti
Scusate sto svolgendo lo stesso esercizio, sono riuscito a determinare i casi limite cioè per $ t<=-2 $ e $ t>=1 $ , ma come hai ottenuto la funzione negli altri intervalli ? Cioè so che è l'area che si ritrova al di sotto della retta ma non riesco a ritrovarmi con questi risultati
Ti assicuro che la soluzione che ho postato è corretta. Una volta fatto il grafico si verifica anche a mente.
Al variare di $Z$ nel suo dominio la retta $Y=2X+Z$ si sposta e spostandosi cambia anche la forma dell'area di integrazione (che rappresenta la Funzione di Ripartizione).
Per $z in [-2;-1)$ l'area di integrazione è un triangolo rettangolo di base $(1+z/2)$ ed altezza $(z+2)$. Di conseguenza
$F_Z=(z+2)^2/4$
per $z in [-1;0)$ l'area è tutto il triangolo precedente di area $1/4$ più un parallelogramma di altezza uno...e quindi di area pari alla sua base: $1/2+z/2$
Per $z in [0;1)$ la CDF è l'area di un poligono calcolabile semplicemente facendo uno meno l'area del triangolino residuo...
ciao
Al variare di $Z$ nel suo dominio la retta $Y=2X+Z$ si sposta e spostandosi cambia anche la forma dell'area di integrazione (che rappresenta la Funzione di Ripartizione).
Per $z in [-2;-1)$ l'area di integrazione è un triangolo rettangolo di base $(1+z/2)$ ed altezza $(z+2)$. Di conseguenza
$F_Z=(z+2)^2/4$
per $z in [-1;0)$ l'area è tutto il triangolo precedente di area $1/4$ più un parallelogramma di altezza uno...e quindi di area pari alla sua base: $1/2+z/2$
Per $z in [0;1)$ la CDF è l'area di un poligono calcolabile semplicemente facendo uno meno l'area del triangolino residuo...
ciao
Non metto minimamente in dubbio i tuoi calcoli 
, ad ogni modo capisco il ragionamentoper determinare le varie aree ma quello che non mi torna è perchè ad esempio quando $z in [-2;-1)$ la base è $(1+z/2)$ e l'altezza $(z+2)$, a me verrebbe da dire base $ 1/2 $ e altezza $ 1 $ dato che la base è metà quadrato e l'altezza tutto il lato e x e y sono comprese tra 0 e 1
, ad ogni modo capisco il ragionamentoper determinare le varie aree ma quello che non mi torna è perchè ad esempio quando $z in [-2;-1)$ la base è $(1+z/2)$ e l'altezza $(z+2)$, a me verrebbe da dire base $ 1/2 $ e altezza $ 1 $ dato che la base è metà quadrato e l'altezza tutto il lato e x e y sono comprese tra 0 e 1
"gino4ever":
... a me verrebbe da dire base $ 1/2 $ e altezza $ 1 $ dato che la base è metà quadrato e l'altezza tutto il lato e x e y sono comprese tra 0 e 1
... visti i tuoi post(che leggo sempre, anche se non intervengo) a me verrebbe da dire che, prima di fare esercizi, sarebbe opportuno studiare un po' di più la teoria (ovvimamente questa è solo una mia opinione)
Ecco comunque il grafico da cui è evidente la soluzione del primo intervallo
come puoi notare l'altezza del triangolo è $(z+2)$ mentre la base è $[1-(-z/2)]=(1+z/2)$
...ed ecco come viene il grafico della densità $f_Z(z)$
ciao
ok grazie.
P.s. per quanto riguarda la teoria ho cercato e letto su internet(perchè ahimè il nostro prof. l'ha fatta in malo modo) ma pur avendo letto il tutto, ho problemi nel determinare le intersezioni e per questo ho scritto . Se volessi indicarmi una fonte da dove poter leggere non avrei problemi a farlo.
Ad ogni modo grazie ancora
P.s. per quanto riguarda la teoria ho cercato e letto su internet(perchè ahimè il nostro prof. l'ha fatta in malo modo) ma pur avendo letto il tutto, ho problemi nel determinare le intersezioni e per questo ho scritto . Se volessi indicarmi una fonte da dove poter leggere non avrei problemi a farlo.
Ad ogni modo grazie ancora
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