Trasformazione di variabili aleatorie - 1

[mobley]

Ciao a tutti.
Premetto che mi sto affacciando da poco alla materia, quindi perdonerete le eventuali castronerie.

Ho trattato teoricamente la maggior parte delle variabili aleatorie notevoli sia discrete che continue, e mi trovo ora a studiare la trasformazione di variabili. Tuttavia ho alcuni dubbi che spero possiate aiutarmi a chiarire.
Vi propongo alcuni esercizi in cui questi dubbi saltano fuori.

Es. 1 - Sia $ X~ U(0,1) $ e sia $ Y=3X-5 $ . Si calcoli la densità di $Y$.

La densità di $X$ è nota, ed è pari a $ f_X(x)={ ( 0 ),( 1 ),( 0 ):} {: ( se ),( se ),( se ) :}{: ( x<=0 ),( 01 ) :} $ . Data poi la monotonicità di $g(X)$ è possibile applicare la legge di trasformazione delle variabili aleatorie.
Determino il supporto di $Y$ sostituendo alla trasformata, in ingresso, soltanto i valori del supporto di $X$.

(E' sempre così? Come determino il supporto di $Y$ nell'esercizio 2?)

Allora:
Per $ X=0rArr Y=3(0)-5=-5 $
Per $ X=1rArr Y=3(1)-5=-2 $
Dunque $Im(g(X))=[-5,-2]$, per cui $f_Y(y)={ ( 0 ),( ? ),( 0 ):} {: ( se ),( se ),( se ) :}{: ( y<=-5 ),( -5 -2 ) :} $.

Ora, per la legge di trasformazione delle variabili aleatorie (con $a=3>0$):

$ F_Y(y)=P(Y<=y)=(3X-5<=y)=P(X=(y+5)/3)=F_X((y+5)/3) $

da cui risulta che $F_Y(y)=F_X(g^(-1)(y))$ con $X=g^(-1)(y)=(y+5)/3$.
Derivando poi a funzione di ripartizione rispetto ad $y$ si ottiene:

$ f_Y(y)=d/dyF_Y(y)=d/dyF_X((y+5)/3)=f_X((y+5)/3)1/3 $

Ne segue che:
per $x<=0rArrf_Y(y)=f_X((y+5)/3)1/3=f_X(x)1/3=0\cdot 1/3=0$
per $0 per $x>1rArrf_Y(y)=f_X((y+5)/3)1/3=f_X(x)1/3=0\cdot 1/3=0$
per cui la funzione di densità di $Y$ è $ f_Y(y)={ ( 0 ),( 1/3 ),( 0 ):} {: ( se ),( se ),( se ) :}{: ( (y+5)/3<=-5 ),( -5<(y+5)/3<=-2 ),( (y+5)/3> -2 ) :} $

[Lo_zio_Tom]

però scusa eh....se mi permetto di fare alcune osservazioni....

Disegno subito la funzione di trasformazione:



già dal disegno vedi che al supporto $S_X in (0;1)$ corrisponde un supporto della variabile Y: $S_Y in (-5;-2)$

dato che la trasformazione è una retta, uniforme parte ed uniforme torna....quindi la $f_(Y)(y)=1/(b-a)=1/(-2-(-5))=1/3I_((-5;-2))(y)$

Tempo di risoluzione: 30"

Dai tuoi conti non ho nemmeno capito se hai capito quale sia il dominio di Y....

fine.

[mobley]

Ti ringrazio per la risposta. Ora me la studio per bene!

In ogni caso il dominio di $Y$ è tutto R.

[Lo_zio_Tom]

E grazie....intendevo dire qual è il supporto di Y, ovvero dove è possibile calcolare una probabilità che non sia identicamente zero, cioè $S_Y in (-5;-2)$.
Dove la densità è zero non conta....

Ed infatti trovi $P(-5<=Y<=-2)=int _(-5)^(-2)f_Y dy=1$

Questo mi premeva che capissi...

e quindi anche la soluzione va espressa così

$f_(Y)(y)={{: ( 1/3 , ; -5
oppure così, in forma sintetica

$f_(Y)(y)=1/3 I_((-5;-2))(y)$

Ciò che hai scritto tu invece è una cosa diversa

"mobley":
per cui la funzione di densità di $Y$ è $ f_Y(y)={ ( 0 ),( 1/3 ),( 0 ):} {: ( " se " ),( " se " ),( " se " ) :}{: ( (y+5)/3<=-5 ),( -5<(y+5)/3<=-2 ),( (y+5)/3> -2 ) :} $

ed è sbagliato perché ti risulta che la densità vale $1/3$ quando $-20
Dovevi invece fare così:

$0<(y+5)/3<1$ e poi risolvere in Y.

Questi piccoli ma importanti errori evidenziano una serie di lacune di base da colmare...questo volevo sottolineare, nulla di più

saluti

[mobley]

Tu intendevi $Y$ in quanto trasformata di $X$

Comunque si, avevo capito, la densità assume probabilità positiva nel supporto e nulla altrove, per cui la variabile è definita soltanto lì. Se $X~U(0,1)$, allora:

$P(a<=X<=b)=int_(a)^(b) f_X(x) dx =1/(b-a)\int_(a)^(b)dx=([x]_a^b)/(b-a)=1$

Per quanto riguarda la soluzione, così come è scritta, è ovvio che sia sbagliata: in quel modo continuo a descrivere la densità di $X$. Avevo già corretto nei miei appunti ma hai fatto bene a precisare, grazie!

Nono, fai benissimo, anzi: grazie mille!