Trasformazione di variabile aleatoria

[Daken97]

Salve a tutti. Sto cercando di risolvere un esercizio che, almeno sulla carta, dovrebbe essere standard, tuttavia il risultato non mi torna. Dunque, la funzione di densità della distribuzione uniforme $ X $ è:

$ X{ ( 1/20 se 10
Alla $ X $, voglia applicare la funzione $ Y=sqrt(x) $, e trovare la funzione di densità della variabile aleatoria $ Y $. Qual è il risultato finale? Premetto che, ho applicato una formula che ho trovato nel link (primo punto, terzo trattino) infondo, ma il risultato che ottengo è palesemente errato, poiché non rispetta i requisiti di una funzione di densità di una variabile aleatoria assolutamente continua.

file:///C:/Users/Windows%2010/Downloads/slipro2-4%20(5).pdf

[Daken97]

Edit: il risultato tuttavia, torna se il supporto della nuova variabile aleatoria, lo definisco su $ [sqrt(30),sqrt(10)] $, in pratica applicando $ Y $ agli estremi dell'intervallo. In ogni caso, non so se questa mia intuizione sia valida, o se è solo una coincidenza.

[gugo82]

Beh, comincia a mostrare qualche calcolo, anche perché linkare un file salvato sul tuo computer non serve a nulla.

Osserva innanzitutto che quella assegnata non è $X$ ma la sua funzione densità $f_X$, cioè quella funzione tale che $F_X(x) = mathbb(P)(X < x) = int_(-oo)^x f_X(t) "d"t$.

Se vogliamo determinare la densità di $Y := sqrt(X)$ ragioniamo sulla distribuzione $F_Y(x) := mathbb(P)(Y < x)$, perché $f_Y(x) = F_Y^\prime (x)$.
Chiaramente l'evento $\{Y < x\} = \{ sqrt(X) < x \}$ è impossibile se $x <= 0$, quindi $F_Y (x) = 0$ se $x <= 0$.
Se invece $x >0$ hai:

$\{Y < x\} = \{ sqrt(X) < x \} = \{ 0 <= X < x^2 \}$

quindi:

$F_Y(x) = int_0^(x^2) f_X(t)\ "d" t$

e per terminare il calcolo ti basta distinguere i casi $0< x^2 <= 10$, $10 < x^2 < 30$ ed $x^2 >= 30$.

Una volta ottenuta $F_Y$, basta calcolare una derivata per avere $f_Y$.

[gugo82]

Visto che tutto tace, posto una soluzione artigianale.

Se $0 <= x^2 <= 10$, ossia se $0 < x <= sqrt(10)$, hai ancora:

$F_Y(x) = int_0^(x^2) 0\ "d" t = 0$.

Se $10 < x^2 < 30$, ossia se $sqrt(10) < x < sqrt(30)$, allora:

$F_Y(x) = int_(10)^(x^2) 1/(20)\ "d"t = 1/(20) (x^2 - 10)$.

Infine, se $x^2 >= 30$, cioè per $x >= sqrt(30)$, allora:

$F_Y(x) = int_(10)^(x^2) 1/(20)\ "d"t = 1/(20) (30 - 10) = 1$.

Dunque:

$F_Y(x) := \{ (0, ", se " x <= sqrt(10)), (1/(20) (x^2 - 10), ", se " sqrt(10) < x < sqrt(30)), (1, ", se " x >= sqrt(30)):}$

e perciò:

$f_Y(x) = \{ (0, ", se " x <= sqrt(10)), (1/(10) x, ", se " sqrt(10) < x < sqrt(30)), (0, ", se " x > sqrt(30)):}$.