Trasformazione di misura e Girsanov
Riguardando i miei appunti mi sono accorto che c'è qualcosa che non va nei miei calcoli che facevo da una settimana convinto che fossero giusti.Il problema è che mi differisce un risultato che dovrebbe essere uguale per un segno quindi sbaglio qualcosa. Vi spiego il problema.
Devo trovare una trasformazione di misura che renda $S_t^*=S_0 e^{\mu t + \sigma W_t} * e^{-r t}$ una martingala, cioè devo togliere il drift dal differenziale del processo.
Faccio il differenziale di $S_t^*$ con il lemma di Ito e ho che con $S_t=e^{S_0e^{\mu t + \sigma W_t}$ il differenziale è $d S_t^*=(mu + \frac{1}{2}\sigma^2)S_t dt + \sigma S_t d W_t}$, e dato che $d e^{.rt }=-r e^{-rt} dt$,
allora $d S_t^*=(mu - r + \frac{1}{2}\sigma^2)S_t^* dt + \sigma S_t^* dW_t$
voglio quindi ottenere un processo dove $dS_t^*=\sigma S_t d W^g_t$, cioè $dS_t^*=\sigma S_t^* (d W_t + \frac{\mu-r + 1/2 \sigma^2}{\sigma}dt)$ dove il termine tra parentesi è $dW_t^g$.
Questo secondo Girsanov è possibile fare utilizzando una trasformazione di misura $L=e^{-\gamma W_t - 1/2 \gamma^2 t}$ con $gamma=\frac{\mu-r+1/2sigma^2}{\sigma}$
ed è qui il mio dubbio. Infatti provando a fare il valore atteso di $S^*_t$ sotto Q mi viene $-1/2 \sigma^2$.
Infatti
$E_Q[S_t^*]=E_P[L S_t^*] = S_0 E_P[e^{\mu t + \sigma W_t} e ^{-\gamma W_t - 1/2 \gamma^2 t}] = S_0 e^{mu t - 1/2 \gamma^2 t} E_P[e^{(\sigma-\gamma)W_t]$
ora dato che sotto $P$ $W_t$ è un moto browniano e quindi si distribuisce come una normale $N(0,t)$ il valore atteso corrisponde ad una funzione generatrice dei momenti di una normale, e quindi da come risultato $e^{1/2(\sigma-\gamma)^2 t}$
Allora ho $e^{\mu t - 1/2 \gamma^2 t + 1/2(\sigma-\gamma)^2 t}= e^{mu t + \sigma gamma t + 1/2 sigma ^2 t}$
quella sopra può essere pensato come il valore atteso della funzione generatrice dei momenti di una normale $N((\mu - \sigma \gamma)t; \sigma^2)$
Adesso ho il dubbio, cioè ho fatto la trasformazione di misura, e il valore atteso sotto la misura Q, non mi è chiaro se questa normale è sotto P o Q, e forse è qui che commetto l'errore.
vi mostro come procedo io dove però penso di sbagliare.
dato che sotto Q $W_t^g=W_t + \gamma t$ è un moto browniano allora ho $e^{(\mu - \sigma \gamma) t + \sigma W_t}$
faccio il differenziale
$(\mu - \sigma \gamma + 1/2 \sigma ^2) S_t^* dt - \sigma dW_t$
allora per avere il drift nullo risolvo il termine tra parentesi uguagliato a 0, e ho: $\mu - \sigma \gamma + 1/2 \sigma^2 = 0)$ allora $\gamma = (\mu-r + 1/2 \sigma^2) / \sigma$
Ecco scrivendo a computer mi sono appena accorto che il risultato è uguale e avevo messo il meno perchè avevo scritto $e^{-(\mu-\sigma \gamma)t + \sigma W_t}$.
Ma allora vorrei conferma in una cosa:
$e^{(\mu - \sigma \gamma) t + \sigma W_t}$
ha senso? scritto in questo modo W_t è un moto browniano sotto P, e non sotto Q? nel senso nell'espressione precedente va bene lasciare $W_t$ e non $W_t^g$.
Scusate la confusione ma è un argomento un po' ostico per me.
Grazie a chiunque si prende la briga di provare a dare una risposta.
Devo trovare una trasformazione di misura che renda $S_t^*=S_0 e^{\mu t + \sigma W_t} * e^{-r t}$ una martingala, cioè devo togliere il drift dal differenziale del processo.
Faccio il differenziale di $S_t^*$ con il lemma di Ito e ho che con $S_t=e^{S_0e^{\mu t + \sigma W_t}$ il differenziale è $d S_t^*=(mu + \frac{1}{2}\sigma^2)S_t dt + \sigma S_t d W_t}$, e dato che $d e^{.rt }=-r e^{-rt} dt$,
allora $d S_t^*=(mu - r + \frac{1}{2}\sigma^2)S_t^* dt + \sigma S_t^* dW_t$
voglio quindi ottenere un processo dove $dS_t^*=\sigma S_t d W^g_t$, cioè $dS_t^*=\sigma S_t^* (d W_t + \frac{\mu-r + 1/2 \sigma^2}{\sigma}dt)$ dove il termine tra parentesi è $dW_t^g$.
Questo secondo Girsanov è possibile fare utilizzando una trasformazione di misura $L=e^{-\gamma W_t - 1/2 \gamma^2 t}$ con $gamma=\frac{\mu-r+1/2sigma^2}{\sigma}$
ed è qui il mio dubbio. Infatti provando a fare il valore atteso di $S^*_t$ sotto Q mi viene $-1/2 \sigma^2$.
Infatti
$E_Q[S_t^*]=E_P[L S_t^*] = S_0 E_P[e^{\mu t + \sigma W_t} e ^{-\gamma W_t - 1/2 \gamma^2 t}] = S_0 e^{mu t - 1/2 \gamma^2 t} E_P[e^{(\sigma-\gamma)W_t]$
ora dato che sotto $P$ $W_t$ è un moto browniano e quindi si distribuisce come una normale $N(0,t)$ il valore atteso corrisponde ad una funzione generatrice dei momenti di una normale, e quindi da come risultato $e^{1/2(\sigma-\gamma)^2 t}$
Allora ho $e^{\mu t - 1/2 \gamma^2 t + 1/2(\sigma-\gamma)^2 t}= e^{mu t + \sigma gamma t + 1/2 sigma ^2 t}$
quella sopra può essere pensato come il valore atteso della funzione generatrice dei momenti di una normale $N((\mu - \sigma \gamma)t; \sigma^2)$
Adesso ho il dubbio, cioè ho fatto la trasformazione di misura, e il valore atteso sotto la misura Q, non mi è chiaro se questa normale è sotto P o Q, e forse è qui che commetto l'errore.
vi mostro come procedo io dove però penso di sbagliare.
dato che sotto Q $W_t^g=W_t + \gamma t$ è un moto browniano allora ho $e^{(\mu - \sigma \gamma) t + \sigma W_t}$
faccio il differenziale
$(\mu - \sigma \gamma + 1/2 \sigma ^2) S_t^* dt - \sigma dW_t$
allora per avere il drift nullo risolvo il termine tra parentesi uguagliato a 0, e ho: $\mu - \sigma \gamma + 1/2 \sigma^2 = 0)$ allora $\gamma = (\mu-r + 1/2 \sigma^2) / \sigma$
Ecco scrivendo a computer mi sono appena accorto che il risultato è uguale e avevo messo il meno perchè avevo scritto $e^{-(\mu-\sigma \gamma)t + \sigma W_t}$.
Ma allora vorrei conferma in una cosa:
$e^{(\mu - \sigma \gamma) t + \sigma W_t}$
ha senso? scritto in questo modo W_t è un moto browniano sotto P, e non sotto Q? nel senso nell'espressione precedente va bene lasciare $W_t$ e non $W_t^g$.
Scusate la confusione ma è un argomento un po' ostico per me.
Grazie a chiunque si prende la briga di provare a dare una risposta.
Risposte
Non ho letto tutto perchè purtroppo ora sono impegnato (prova a vedere se ti sei pure perso un r quando fai la catena di valori attesi)
Comunque una volta che hai definito $dS^.$ e fino a la mi pare sia tutto corretto scrivi il processo
$S^._t=S_0e^(\sigma W^g_t-sigma^2/2t)$ dove $W^g$ è il moto sotto Browniano sotto $Q$ (qua dovresti vedere anche che L sia adatto ad essere il processo che ti da il cambiamento di misura - sarebbe la condizione di Novikov o altre ed in questo caso è verificata)
Ora a parte questo quando vai a vedere che è una martingala non ti conviene cambiare misura ma rimanere su
$E_Q[S^._t|F_s]$ e vedere che il risultato è $S^._s$ proprio perchè $W^g$ e un MB sotto Q e quindi ha distribuzione di una normale (sotto Q ma non sotto P), certo se lo vuoi fare a fini didattici allora fallo cosi ti impratichisci un po'.
Prova a rifare i conti poi se mai li rivediamo insieme.
Comunque una volta che hai definito $dS^.$ e fino a la mi pare sia tutto corretto scrivi il processo
$S^._t=S_0e^(\sigma W^g_t-sigma^2/2t)$ dove $W^g$ è il moto sotto Browniano sotto $Q$ (qua dovresti vedere anche che L sia adatto ad essere il processo che ti da il cambiamento di misura - sarebbe la condizione di Novikov o altre ed in questo caso è verificata)
Ora a parte questo quando vai a vedere che è una martingala non ti conviene cambiare misura ma rimanere su
$E_Q[S^._t|F_s]$ e vedere che il risultato è $S^._s$ proprio perchè $W^g$ e un MB sotto Q e quindi ha distribuzione di una normale (sotto Q ma non sotto P), certo se lo vuoi fare a fini didattici allora fallo cosi ti impratichisci un po'.
Prova a rifare i conti poi se mai li rivediamo insieme.
Ehm non sono riuscito a seguire tutto il tuo ragionamento. Cioè sono d'accordo che $S_t=e^{\sigma W_t^g -1/2 \sigma^2}$ è proprio il processo che serve se $W_t^g$ è un moto browniano ma io volevo partire proprio dall'inizio.
Comunque penso di essermi ritrovato e anche i conti alla fine sono giusti solo che è $e^{(\mu -\gamma \sigma)+W_t^g}$ e non e^{(\mu -\gamma \sigma)+W_t}, perchè in realtà anche se il valore atteso l'ho fatto sotto P, mettendo dentro la trasfomazione di misura è come se l'avessi fatto sotto Q. Almeno questo mi sembra...
Se fosse così a questo punto mi pare torni tutto, infatti per annullare il drift del differenziale $\gamma = \frac{\mu-r+1/2 \sigma^2}{\sigma}$ e di conseguenza sostituendo il gamma al processo viene fuori proprio quello che serve.
Comunque grazie di aver dato una letta, sinceramente non pensavo che qualcuno guardasse dato che tutti gli argomenti proposti non vanno molto oltre al calcolo delle probabilità.
P.S. cosa intendi con condizione di Novikov? Io so che L è una trasformazione di misura semplicemente perchè è sempre maggiore o uguale a 0 (dato che è un esponenziale) e che il valore atteso sotto P da 1.
Comunque penso di essermi ritrovato e anche i conti alla fine sono giusti solo che è $e^{(\mu -\gamma \sigma)+W_t^g}$ e non e^{(\mu -\gamma \sigma)+W_t}, perchè in realtà anche se il valore atteso l'ho fatto sotto P, mettendo dentro la trasfomazione di misura è come se l'avessi fatto sotto Q. Almeno questo mi sembra...
Se fosse così a questo punto mi pare torni tutto, infatti per annullare il drift del differenziale $\gamma = \frac{\mu-r+1/2 \sigma^2}{\sigma}$ e di conseguenza sostituendo il gamma al processo viene fuori proprio quello che serve.
Comunque grazie di aver dato una letta, sinceramente non pensavo che qualcuno guardasse dato che tutti gli argomenti proposti non vanno molto oltre al calcolo delle probabilità.
P.S. cosa intendi con condizione di Novikov? Io so che L è una trasformazione di misura semplicemente perchè è sempre maggiore o uguale a 0 (dato che è un esponenziale) e che il valore atteso sotto P da 1.
Va bene non ho capito bene quello che dicevi ma se ti torna tutto a posto.
In generale il processo $L$ non è sempre una martingala (dipende da come è complesso il processo $gamma$ in questo caso è costante)
Informalmente (si dovrebbe esssere + precisi) tu devi avere una martingala, esistono condizioni sufficienti che ti danno queste condizioni.
La questione è che tu stai lavorando anche col tempo e quindi ti serve un processo di densità (un oggetto che ti dia una continuità di densità) e questo è ben rappresentato da una martingala. In generale se gamma è complesso potresti avere una martingala locale ma non una martingala.
In generale il processo $L$ non è sempre una martingala (dipende da come è complesso il processo $gamma$ in questo caso è costante)
Informalmente (si dovrebbe esssere + precisi) tu devi avere una martingala, esistono condizioni sufficienti che ti danno queste condizioni.
La questione è che tu stai lavorando anche col tempo e quindi ti serve un processo di densità (un oggetto che ti dia una continuità di densità) e questo è ben rappresentato da una martingala. In generale se gamma è complesso potresti avere una martingala locale ma non una martingala.
Ok, ma dal momento che assumo $\mu$ e $\sigma$ costanti non dovrei avere questi problemi.
Sugli appunti ho che se gamma è una costante il teorema vale sempre.
Sugli appunti ho che se gamma è una costante il teorema vale sempre.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo