Trasformazione aleatoria di una cauchy

[Riccardo_91]

Salve a tutti, oggi vorrei porvi la seguente questione.

Data una variabile aleatoria $ X -> Cauchy(1) $, si determini la pdf e la cdf della seguente trasformazione:

$ Y = X $ per $ X>0 $
$ Y = 0 $ per $ X<=0 $

Allora dato che la cdf della cauchy banalmente risulta: $ F_(X) (x) = 1/2 + 1/(\pi)*\arctan(x) $

Procedo con il calcolo della cdf della $ Y $, considerando già in partenza che per le y < 0 quest'ultima è nulla :

$ F_(Y) (y) = P(Y <= y) = P( g(X) <= y) = P(0 < X <= y) = F_(X) (y) - F_(X) (0) = 1/(\pi)*arctan(y) $

Tuttavia tale cdf non soddisfa per nulla la proprietà di normalizzazione $ F_(Y) (+\infty) = 1/2 $, e non 1.

Dov'è che ho sbagliato ?

[Lo_zio_Tom]

La y è una variabile aleatoria mista

[Riccardo_91]

Capisco che tu lo abbia dedotto dalla cdf, ma ciò cosa cambia?

[Lo_zio_Tom]

"Riccardo_9":Capisco che tu lo abbia dedotto dalla cdf, ma ciò cosa cambia?

No. L'ho dedotto dal fatto che in $ y=0$ la variabile è discreta e concentra la seguente massa di probabilità:

$ P (Y=0)=int_(-oo)^(0) 1/(pi (1+x^2)) dx=1/2$

e ciò si vede bene anche considerando il seguente grafico della funzione di trasformazione:




Cosa cambia?? cambia che così facendo ottieni il risultato corretto, come fai tu esce una cosa senza senso (anzi che fa senso!). Che errore hai fatto? ti sei "soltanto" dimenticato metà della distribuzione.

In definitiva:


$ F_(Y)(y )=[1/2+(arctan (y))/(pi)]I_([0; oo))(y) $

Così è giusta.

Nota che $ F_(Y) (-oo)=F_(Y) (0)> 0$ perché $ Y $ è una mistura tra una variabile discreta ed una continua.

Ovviamente la pdf è questa

$f_(Y) (y)=1/2I_([0])(y)+1/(pi (1+y^2)) I_((0;+oo)) (y) $


ciao