Testo ambiguo sul teorema di Bayes
Ciao a tutti, stavo provando a fare il seguente problema di probabilità (in particolare sul teorema di bayes), ma onestamente non ho proprio capito i dati del testo, che penso sia stato scritto con i piedi.
Lo riporto di seguito:
"Un centro medico arruola malati di una certa patologia per una sperimentazione clinica, e le persone che arrivano al centro medico sono sottoposte ad un test diagnostico per verificare l’eventuale stato di malati. Si assume che il 12% delle persone sottoposte al test siano malate, e di queste, il test abbia la capacità di individuare l’80% dei malati (tra i malati), mentre tutti i sani sono classificati come sani (tra i sani non ci sono possibilità di errore).
1. Quale è la probabilità di indentificare un malato nel momento in cui una generica persona si sottopone al test?
2. Assumendo che tale probabilità sia del 10%, quanti individui bisogna testare mediamente per osservare il primo malato?
3. Ora, mantenendo la probabilità del 10%, la VC Y conta quante persone occorre visitare per trovare il terzo malato. Calcolare media e deviazione standard di Y.
4. Calcolare la probabilità di osservare il terzo malato alla ventesima persona che si sottopone al test."
In particolare, quando dice che il 12% delle persone sottoposte al test sono malate, che probabilità mi sta dando? E cosa significa che il test ha la capacità di individuare l'80% dei malati tra i malati?
Scusate ma veramente non mi è per nulla chiaro che cosa mi sta dicendo questo esercizio, anche perché, per ipotesi, tutti i pazienti che si sottopongono al test sono malati (vedi prima riga)
Lo riporto di seguito:
"Un centro medico arruola malati di una certa patologia per una sperimentazione clinica, e le persone che arrivano al centro medico sono sottoposte ad un test diagnostico per verificare l’eventuale stato di malati. Si assume che il 12% delle persone sottoposte al test siano malate, e di queste, il test abbia la capacità di individuare l’80% dei malati (tra i malati), mentre tutti i sani sono classificati come sani (tra i sani non ci sono possibilità di errore).
1. Quale è la probabilità di indentificare un malato nel momento in cui una generica persona si sottopone al test?
2. Assumendo che tale probabilità sia del 10%, quanti individui bisogna testare mediamente per osservare il primo malato?
3. Ora, mantenendo la probabilità del 10%, la VC Y conta quante persone occorre visitare per trovare il terzo malato. Calcolare media e deviazione standard di Y.
4. Calcolare la probabilità di osservare il terzo malato alla ventesima persona che si sottopone al test."
In particolare, quando dice che il 12% delle persone sottoposte al test sono malate, che probabilità mi sta dando? E cosa significa che il test ha la capacità di individuare l'80% dei malati tra i malati?
Scusate ma veramente non mi è per nulla chiaro che cosa mi sta dicendo questo esercizio, anche perché, per ipotesi, tutti i pazienti che si sottopongono al test sono malati (vedi prima riga)
Risposte
"Lebesgue":
Si assume che il 12% delle persone sottoposte al test siano malate, e di queste, il test abbia la capacità di individuare l’80% dei malati (tra i malati), mentre tutti i sani sono classificati come sani (tra i sani non ci sono possibilità di errore).
1. Quale è la probabilità di indentificare un malato nel momento in cui una generica persona si sottopone al test?
Nella popolazione generale i malati sono il 12%.
M=malato
S=sano
IM=identificato malato
IS=identificato sano.
Sappiamo che $P(M)=0,12$, $P(S)=0,88$, $P(IM|M)=0,8$, $P(IS|M)=0,2$, $P(IS|S)=1$, $P(IM|S)=0$.
La domanda 1 ci chiede $P(IM)$. Questo è uguale a $P(IM|M)*P(M)+P(IM|S)*P(S)=0,8*0,12=0,096$
Ho sbagliato qualcosa o il valore di 0,1 usato nelle domande successive è sbagliato.
Controlliamo qualcosa:
$P(IS)=P(IS|S)*P(S)+P(IS|M)*P(M)=0,88+0,2*0,12=0,904$. Coerente con l'altro risultato.
Il testo anche a me sembra scritto da cani, senza offesa per i cani.
Ti dico come lo interpreto io, un po' abituata anche alla psiche degli economisti quando scrivono problemi a parole.
L'unico senso che riesco a vedere è: "Un centro medico vuole fare una sperimentazione clinica su una certa patologia, e sottopone a test potenziali malati che arrivano al centro medico, per vedere se sono davvero malati o meno."
Altrimenti che senso ha dire: 'arruola malati di una certa patologia' e poi non ci fa niente, li chiude in una stanza e se li scorda, e va a visitare altri, quelli al centro medico.
Né può significare: arruolo 'malati', cioè visito gente che so già con certezza che è malata. Che testi se lo sai già?
Il resto ne segue. Sappiamo a priori che il 12% dei pazienti è malato, ma ovviamente non sappiamo chi, il test ci azzecca all'80% se dà esito 'malato', mentre non sbaglia mai se dà esito 'sano'.
[edit] Non avevo visto che aveva già risposto ghira, la mia interpretazione mi sembra uguale alla sua.
Ti dico come lo interpreto io, un po' abituata anche alla psiche degli economisti quando scrivono problemi a parole.
"Lebesgue":
"Un centro medico arruola malati di una certa patologia per una sperimentazione clinica, e le persone che arrivano al centro medico sono sottoposte ad un test diagnostico per verificare l’eventuale stato di malati.
L'unico senso che riesco a vedere è: "Un centro medico vuole fare una sperimentazione clinica su una certa patologia, e sottopone a test potenziali malati che arrivano al centro medico, per vedere se sono davvero malati o meno."
Altrimenti che senso ha dire: 'arruola malati di una certa patologia' e poi non ci fa niente, li chiude in una stanza e se li scorda, e va a visitare altri, quelli al centro medico.
Né può significare: arruolo 'malati', cioè visito gente che so già con certezza che è malata. Che testi se lo sai già?
Il resto ne segue. Sappiamo a priori che il 12% dei pazienti è malato, ma ovviamente non sappiamo chi, il test ci azzecca all'80% se dà esito 'malato', mentre non sbaglia mai se dà esito 'sano'.
[edit] Non avevo visto che aveva già risposto ghira, la mia interpretazione mi sembra uguale alla sua.
Grazie mille a entrambi!
Il fatto che non sia una mia impressione che il testo sia stato scritto con i piedi mi consola molto, pensavo di essere talmente sciocco da non riuscire a capirlo
Il fatto che non sia una mia impressione che il testo sia stato scritto con i piedi mi consola molto, pensavo di essere talmente sciocco da non riuscire a capirlo
"ghira":
Ho sbagliato qualcosa o il valore di 0,1 usato nelle domande successive è sbagliato.
Semplicemente penso che nei punti successivi ti fissi arbitrariamente (ovvero ignorando i conti del primo punto) il valore del 10% e ti chiede di fare altri conti
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