Test ipotesi
La produzione di un cereale in diversi appezzamenti di uguale superficie messi a cultura ha una distribuzione approssimativamente Normale con media $\mu=15$ e varianza $\sigma^2=36$.
Un nuovo fertilizzante, che si ritiene migliore di quello abitualmente utilizzato, viene provato su $n=6$ appezzamenti ottenendo i seguenti risultati:
\[ 15, 16, 15, 15, 20, 21 \]
Verificare al livello di confidenza del 90% l'ipotesi che il nuovo fertilizzante sia equivalente al precedente specificando e giustificando l'ipotesi alternativa ritenuta opportuna.
[size=85](Si utilizzi l’appropriato quantile della distribuzione Normale standardizzata Z, tenendo conto che:
$Z_{0.80} = 0.842$, $Z_{0.85} = 1.036$, $Z_{0.90} = 1.282$, $Z_{0.95} = 1.645$ e che tale distribuzione è simmetrica rispetto
allo zero).[/size]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[
-Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le Z_{STAT} \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \\
-1.645 \le 0.816 \le 1.645
\]
Quindi con quei valori si ricade nell'intervallo di confidenza richiesto senza problemi.
Il dubbio che ho è nella seconda parte del quesito: specificando e giustificando l'ipotesi alternativa ritenuta opportuna. Che significa?
Io ho pensato che se si avessero dei valori tali che la media campionaria fosse maggiore del valore attuale o al massimo coincidente all'estremo superiore dell'intervallo di confidenza, allora si avrebbe più resa pur rimanendo dentro tale intervallo di confidenza al 90%.
Quindi
\[
1.645=\frac{\bar{x}-15}{\frac{6}{\sqrt{6}}} \Rightarrow \bar{x}\approx 19
\]
Quindi se $\bar{x} \in (17;19]$ allora il nuovo fertilizzante sarebbe migliore del precedente, pur rimanendo dentro l'intervallo di confidenza al 90%.
Un nuovo fertilizzante, che si ritiene migliore di quello abitualmente utilizzato, viene provato su $n=6$ appezzamenti ottenendo i seguenti risultati:
\[ 15, 16, 15, 15, 20, 21 \]
Verificare al livello di confidenza del 90% l'ipotesi che il nuovo fertilizzante sia equivalente al precedente specificando e giustificando l'ipotesi alternativa ritenuta opportuna.
[size=85](Si utilizzi l’appropriato quantile della distribuzione Normale standardizzata Z, tenendo conto che:
$Z_{0.80} = 0.842$, $Z_{0.85} = 1.036$, $Z_{0.90} = 1.282$, $Z_{0.95} = 1.645$ e che tale distribuzione è simmetrica rispetto
allo zero).[/size]
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\[
-Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le Z_{STAT} \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \\
-1.645 \le 0.816 \le 1.645
\]
Quindi con quei valori si ricade nell'intervallo di confidenza richiesto senza problemi.
Il dubbio che ho è nella seconda parte del quesito: specificando e giustificando l'ipotesi alternativa ritenuta opportuna. Che significa?
Io ho pensato che se si avessero dei valori tali che la media campionaria fosse maggiore del valore attuale o al massimo coincidente all'estremo superiore dell'intervallo di confidenza, allora si avrebbe più resa pur rimanendo dentro tale intervallo di confidenza al 90%.
Quindi
\[
1.645=\frac{\bar{x}-15}{\frac{6}{\sqrt{6}}} \Rightarrow \bar{x}\approx 19
\]
Quindi se $\bar{x} \in (17;19]$ allora il nuovo fertilizzante sarebbe migliore del precedente, pur rimanendo dentro l'intervallo di confidenza al 90%.
Risposte
Ho capito che se la $Z_{STAT}$ cade fuori dall'intervallo di confidenza devo rifiutare l'ipotesi.
Dai calcoli fatti non dovrei rifiutarla perchè mi cade nell'intervallo giusto però... corretto?
Dai calcoli fatti non dovrei rifiutarla perchè mi cade nell'intervallo giusto però... corretto?
Il test T di Student bidimensionale non ci è stato fatto fare (per fortuna) anche se però alla fine la formula e il ragionamento non sono dissimili dal test T monodimensionale
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