Test ipotesi

[frons79]

Una banca assume che i prelievi effettuati attraverso il Bancomat si distribuiscano secondo una variabile casuale Normale.
Osservati 22500 prelievi, con un prelievo medio pari a 190€ e scarto quadratico medio pari a 25€, si verifichi con un livello di significatività del 1%, l'ipotesi che il livello medio dei prelievi sia pari a 200€ contro l'ipotesi che sia inferiore a 200€.

Formalizzando il problema:
\[\displaystyle
X \sim N(190,625) \\
n=22500 \\
\alpha = 0.01 \\
H_0: \mu = 200 \quad H_1: \mu <200
\]

Il mio dubbio è se debba semplicemente verificare che effettivamente per tale livello di significatività, il valore critico corrisponde a quello citato nel testo (200), oppure
Per come l'ho interpretato io, \[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\overline x & \leq \mu_0 - Z_{STAT} \, \frac {\sigma}{\sqrt n} \\
& \leq 199.61
\end{split}
\end{equation}
\]

[frons79]

"Sergio":non mi pare che \(\sigma\) sia tra i dati del problema.

Si scarto quadratico medio = 25. Io nella dichiarazione iniziale l'ho semplicemente riportato come varianza perché sono abituato fare così, ma poi nei calcoli ho considerato effettivamente la deviazione standard

[frons79]

Ah... quindi sono solamente dati del campione, della popolazione, attualmente, ne conosco solo l'entità, ma né la media né la varianza.
Adesso sono proprio disorientato...

[frons79]

"Sergio":Se poi per caso avessi ragione io, se cioè 625 fosse la varianza campionaria, si tratterebbe in sostanza di sostituire la normale con una \(t\) di Student, ma con un \(n\) così grande otterresti un risultato analogo.

Che si tratti di una Normale ne sono certo perché questo esercizio proviene da un test d'esame passato, e alla fine sono riportati alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z (per evitare di doverli andare a cercare nelle tabelle col rischio di copiare, ecc... ecc...).
Quindi, partendo dal presupposto che si tratti di una distribuzione Normale Z e non t di Student, la conclusione del ragionamento è:

"Sergio":\( \frac{190-200}{25/150}=-60 < z_\alpha = -2.33 \), quindi rifiuti l'ipotesi nulla.