Test d'ipotesi
Buongiorno,
vorrei avere la conferma su come ho svolto un esercizio riguardante il test d'ipotesi.
In uno studio sugli effetti nocivi delle polveri respirate dagli operai di un'industria, si è trovato che 16 operai sui 120 visitati presentano forti disturbi respiratori. E' noto che il 10% della popolazione è affetta da tali disturbi. Verificare se la proprorzione osservata tra gli operai è maggiore della proporzione nella popolazione al livello $\alpha=0.05$
Svolgimento:
$\{(H0\to\pi= 0.1),(H1\to\pi<0.1):}$
Ricorrendo all’approssimazione Normale
$Z=(0,13-0,10)/sqrt(0.1*(1-0.1)/sqrt(120))=1,09$
Quindi $z=1,09<1.65 z_\alpha$ con $\alpha=0.05$ Di conseguenza si accetta l'ipotesi nulla.
Qualcuno potrebbe confermarmi che sia il procedimento che il risultato è corretto?
Grazie
vorrei avere la conferma su come ho svolto un esercizio riguardante il test d'ipotesi.
In uno studio sugli effetti nocivi delle polveri respirate dagli operai di un'industria, si è trovato che 16 operai sui 120 visitati presentano forti disturbi respiratori. E' noto che il 10% della popolazione è affetta da tali disturbi. Verificare se la proprorzione osservata tra gli operai è maggiore della proporzione nella popolazione al livello $\alpha=0.05$
Svolgimento:
$\{(H0\to\pi= 0.1),(H1\to\pi<0.1):}$
Ricorrendo all’approssimazione Normale
$Z=(0,13-0,10)/sqrt(0.1*(1-0.1)/sqrt(120))=1,09$
Quindi $z=1,09<1.65 z_\alpha$ con $\alpha=0.05$ Di conseguenza si accetta l'ipotesi nulla.
Qualcuno potrebbe confermarmi che sia il procedimento che il risultato è corretto?
Grazie
Risposte
Il risultato finale è corretto ma ci sono alcuni errori.
L'ipotesi alternativa è $mathcal(H)_1: pi>0.1$ altrimenti non vi sarebbe nulla da provare; i dati infatti dicono che la proporzione campionaria è $bar(pi)=16/120=0.1333$ e quindi si sottopone a verifica il fatto che $0.1333$ sia davvero maggiore di $0.1$.
Ciò premesso, hai pasticciato un po' nella formula del test (ma penso che tu abbia solo scritto male la radice) che mi viene circa $1.22<1.64$ e quindi correttamente hai accettato $mathcal(H)_0$ concludendo che $0.1333$ in realtà non è maggiore del 10% e le differenze riscontrate nel campionamento (con dati maggiori del 10%) sono del tutto casuali, dovute alla variabilità del fenomeno e non all'effetto nocivo dell'inalazione delle polveri.
Oltre a confrontare il valore del test con quello critico potresti risolvere nei seguenti modi:
1) Calcolando il punto critico per stabilire se $pi_1>10%$, ovvero facendo $bar(pi)>pi_0+sqrt((pi_0(1-pi_0))/n)*z_(alpha)=14.5%$ e quindi accetti, dato che la tua media è inferiore: $13.33%$
2) Calcolando il p-value del test che viene $P(Z>1.2172)=11.2%$ e quindi accetti l'ipotesi perché si rifiuta solo quando il p-value è più piccolo del livello di significatività.
Infine alcune note:
1) La formula corretta del test Z asintotico è:
$Z_("stat)=(0.1333-0 1)/sqrt (0.1*0.9) sqrt(120)~~1.22$
2) Pur non essendoci l'ipotesi di normalità del modello hai correttamente utilizzato lo Z-test essendo $npi=120*0.1=12>=5$
3) $13.33%$ non lo puoi arrotondare a $13%$, devi tenere almeno due decimali.
Sono stato un po' prolisso ma spero di averti chiarito meglio questo importante argomento del programma
Ciao ciao
L'ipotesi alternativa è $mathcal(H)_1: pi>0.1$ altrimenti non vi sarebbe nulla da provare; i dati infatti dicono che la proporzione campionaria è $bar(pi)=16/120=0.1333$ e quindi si sottopone a verifica il fatto che $0.1333$ sia davvero maggiore di $0.1$.
Ciò premesso, hai pasticciato un po' nella formula del test (ma penso che tu abbia solo scritto male la radice) che mi viene circa $1.22<1.64$ e quindi correttamente hai accettato $mathcal(H)_0$ concludendo che $0.1333$ in realtà non è maggiore del 10% e le differenze riscontrate nel campionamento (con dati maggiori del 10%) sono del tutto casuali, dovute alla variabilità del fenomeno e non all'effetto nocivo dell'inalazione delle polveri.
Oltre a confrontare il valore del test con quello critico potresti risolvere nei seguenti modi:
1) Calcolando il punto critico per stabilire se $pi_1>10%$, ovvero facendo $bar(pi)>pi_0+sqrt((pi_0(1-pi_0))/n)*z_(alpha)=14.5%$ e quindi accetti, dato che la tua media è inferiore: $13.33%$
2) Calcolando il p-value del test che viene $P(Z>1.2172)=11.2%$ e quindi accetti l'ipotesi perché si rifiuta solo quando il p-value è più piccolo del livello di significatività.
Infine alcune note:
1) La formula corretta del test Z asintotico è:
$Z_("stat)=(0.1333-0 1)/sqrt (0.1*0.9) sqrt(120)~~1.22$
2) Pur non essendoci l'ipotesi di normalità del modello hai correttamente utilizzato lo Z-test essendo $npi=120*0.1=12>=5$
3) $13.33%$ non lo puoi arrotondare a $13%$, devi tenere almeno due decimali.
Sono stato un po' prolisso ma spero di averti chiarito meglio questo importante argomento del programma
Ciao ciao
Grazie mille per la risposta, si purtroppo ma c'erano un po' di refusi; era il primo che risolvevo con la proporzione campionaria 
. In ogni caso la tua risposta molto dettagliata ha chiarito ogni mio dubbio! 
. In ogni caso la tua risposta molto dettagliata ha chiarito ogni mio dubbio!
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