Test diagnostico

[meemowsh]

Ciao a tutti ho un dubbio su un esercizio su un test di screening:
So che la prevalenza di una certa patologia in una popolazione è 0.1
Ho un test diagnostico che da un risultato positivo nel $90%$ dei casi in cui un individuo ha la malattia e nell'$1%$ dei casi in cui un individuo non ha realmente la malattia.
Ipotizzando di fare 10000 test e che se il risultato è negativo viene ripetuto dopo 15 gg come faccio a calcolare il numero atteso di test che deve essere fatto in totale per questa popolazione? E il numero minimo di test che devo comprare per avere probabilità del $95%$ di completare lo studio?
Ho già calcolato altre cose che mi venivano richieste, vorrei solo una mano a capire il procedimento che devo seguire per rispondere a queste due domande senza necessariamente tutti i calcoli, grazie!

[Lo_zio_Tom]

"meemowsh":Ciao a tutti ho un dubbio su un esercizio su un test di screening:

ciao!

e quale sarebbe il dubbio?

io ho letto tutto il tuo post ma non ho trovato alcuna domanda specifica né dubbi risolutivi su tue bozze di alcun genere...

hai letto il regolamento del forum su come postare i messaggi?

prego.

[meemowsh]

Ciao,
chiedo scusa se non sono stato chiaro ma la domanda era appunto questa:
"come faccio a calcolare il numero atteso di test che deve essere fatto in totale per questa popolazione? E il numero minimo di test che devo comprare per avere probabilità del 95% di completare lo studio? "
L'esercizio mi richiede di calcolare una serie di parametri relativamente a questo test, che ho calcolato ma non ho idea di come impostare il calcolo per ottenere il numero di test.

[Lo_zio_Tom]

[xdom="tommik"]Forse così il messaggio è più chiaro:

1.2....Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.[/xdom]

[Lo_zio_Tom]

Nel tuo post non si vede alcuno sforzo per superare le difficoltà ma solo una domanda generica e ciò è contrario allo spirito del forum. Ad ogni modo, dato che sei un nuovo iscrtitto, ti suggerisco quanto segue:

1) per calcolare il numero atteso di test è sufficiente osservare che chi risulta positivo fa un solo test mentre chi risulta negativo ne fa due[nota]nella realtà accade il contrario: è chi risulta positivo a rifare il test....ma va beh[/nota];

"meemowsh":
Ipotizzando di fare 10000 test e che se il risultato è negativo viene ripetuto

quindi per risolvere il problema ti basta calcolare la media del totale dei test che ci si aspetta di dover eseguire.

2) Per calcolare il numero minimo di test per avere una copertura del 95% devi calcolare $P(sum_i X_i>=x)<=5%$. Si risolve in un passaggio utilizzando il TLC


saluti

[meemowsh]

Grazie mille sia per il chiarimento relativo all'esercizio sia per quanto riguarda le regole del forum

[Lo_zio_Tom]

La prima cosa da fare è calcolare la probabilità che, scelto a caso un qualunque individuo, il test sia positivo ($P(T^+)$) oppure negativo ($P(T^-)$).

Ciò si calcola agevolmente con il teorema delle probabilità totali

$P(T^+)=P(M)P(T^+|M)+P(bar(M))P(T^+|bar(M))=0.1*0.9+0.9*0.01=0.099$

dove con $P(M)$ ho indicato la probabilità di essere malato (prevalenza)

Quindi per un individuo preso a caso fra i 10.000 della popolazione avremo la seguente variabile casuale

$X-={{: ( 1 , 2 ),( 0.099 , 0.901 ) :}$

che determina quanti test farà un singolo individuo scelto a caso.

Facilmente trovi che

$E[X]=1.901$

$V[X]~~0.0892$

in pratica la variabile ti dice che un individuo farà mediamente 1.901 test. Di conseguenza ci aspettiamo $10000*1.901=19010$ test complessivi.

Ricordando che il quantile della Gaussiana standard $q_(95%)~~1.645$, applicando il TLC otteniamo subito che

$(sum_i X_i-19010)/sqrt(10000*0.0892)=1.645$

da cui $sum_i X_i=19060$