Test chi quadro di buon adattamento dimostrazione per k=2

[mike.961]

Nel test di buon adattamento, viene detto che se \( \mathcal{H}_0 \) è vera per \( n \) sufficientemente elevato, allora

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}\sim\chi_{k-1}^{2} \)

Nelle dispense che posseggo viene data una dimostrazione per $k=2$, che però non riesco del tutto a capire, ed è la seguente.

Osserviamo che

\(\displaystyle X_1+X_2=n, \qquad p_1+p_2=1 \)

Si ha

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i} = \frac{(X_1-np_1)^2}{np_1}+\frac{(X_2-np_2)^2}{np_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(n-X_2-np_1)^2}{np_1}+\frac{(X_2-np_2)^2}{np_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(n(1-p_1)-X_2)^2}{np_1}+\frac{(X_2-np_2)^2}{np_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(np_2-X_2)^2}{np_1}+\frac{(X_2-np_2)^2}{np_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(X_2-np_2)^2}{np_1}+\frac{(X_2-np_2)^2}{np_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(X_2-np_2)^2}{n}\left ( \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2} \right ) \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(X_2-np_2)^2}{n}\frac{p_1+p_2}{p_1 p_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(X_2-np_2)^2}{n}\frac{1}{(1-p_2)p_2} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \frac{(X_2-np_2)^2}{np_2(1-p_2)} \)
\(\displaystyle \phantom{\sum_{i=1}^{k}\frac{\left ( X_i - np_i \right )^{2}}{np_i}} = \left ( \frac{X_2-np_2}{\sqrt{np_2(1-p_2)}} \right )^2 \)

Bene, fin qui i procedimenti li ho capiti, basta giocare con la prima osservazione fatta. Ciò che non capisco è ciò che dice subito dopo:

Se l'ipotesi \( \mathcal{H}_0 \) è vera (ossia \( \mathcal{P}(X=x_i)=p_i \) per ogni \( i=1,\dots,k \)), allora \(\displaystyle X_2 \sim B(n,p_2) \)

Poi continua e conclude dicendo che tramite il teorema del limite centrale, possiamo affermare che quello ottenuto all'interno delle parentesi al quadrato è una normale standard, e quindi è una chi quadro di ordine uno. Ma questo l'ho capito, prendendo per vero che \(\displaystyle X_2 \sim B(n,p_2) \).

Non capisco proprio il fatto che \( X_2 \) sia una binomiale. Mi manca qualcosa, ma non riesco a capire cosa.

[Lo_zio_Tom]

ti stai perdendo in un bicchier d'acqua

se $X_1 +X_2=n$ e$p_1 + p_2=1$

è evidente che $P(X_2=k)$ è una binomiale....conta i successi che ci sono in n prove indipendenti....oltretutto anche dall'utlima formula del limite centrale che hai scritto:

$(X-np)/sqrt(n*p*q)~Phi$

Si vede subito che è proprio il teorema di De Moivre Laplace, ovvero un'approssimazione gaussiana della binomiale, variabile discreta di media $np$ e varianza $np(1-p)$


ciao