Test adattamento chi quadrato

[mati.brunetti37]

Non riesco a capire il senso della "formula" di questo test. Teoricamente la variabile aleatoria relativa a questo test dovrebbe avere distribuzione chi quadrato, e quindi dovrebbe essere una somma di v.a di distribuzione normale standard al quadrato. Tuttavia, guardando la formula di questo test, non capisco perché al denominatore ci sia il valore atteso dell'i-esima v.a. e non la sua varianza, che dovrebbe rendere ogni membro all'interno della sommatoria effettivamente una distribuzione normale standard al quadrato.
Grazie per l'eventuali risposte!

[Lo_zio_Tom]

Osservazione intelligente....non ho con me la dimostrazione completa ma ti posso comunque dare un'idea del perché:

La normale di cui si va a fare il quadrato è in realtà una binomiale (che risulta gaussiana per il teorema di De Moivre Laplace, che è poi una particolare versione del Teorema del Limite Centrale)

Quindi, per $n$ grande abbiamo che


$(k-np)/sqrt(npq)~Phi(0;1)$

e come puoi notare $npq$ è proprio la varianza che ti aspettavi di vedere...

Ora, considerando che il quadrato di una normale std è una chi quadro con un gdl:

$chi_((1))^(2)=(k-np)^2/(npq)=((k-np)^2(p+q))/(npq)=[(n-k)-nq]^2/(nq)+[k-np]^2/(np)$

ma siccome

$E[k]=np$ e $E[n-k]=nq$ possiamo anche scrivere

$chi_((1))^(2)=sum_(i=1)^(2)[n_i-E(n_i)]^2/(E(n_i)$


Per l'additività di $chi^2$ si ottiene la nota formula

spero che ora sia chiaro....se così non fosse puoi cercare la dimostrazione completa...ma il succo del discorso è questo...nulla di più

saluti

[mati.brunetti37]

Grazie mille! Adesso è tutto chiaro