[Teoria] Poissoniana come approssimazione di una binomiale

[Magma1]

Buongiorno,

Se $X~ \text{Bin}(n,p)$

$P(X=i)=((n),(i)) p^i (1-p)^(n-i)=$

$=(n(n-1) cdots (n-i+1))/(i!) (lambda/n)^i (1-\lambda/n)^(n-i)$

$=(n(n-1) cdots (n-i+1))/(n^i) lambda^i/(i!) (1-\lambda/n)^n/(1-lambda/n)^i$

ora, per $n$ molto grande:

$lim_(n->+oo) (n(n-1) cdots (n-i+1))/(n^i)=1$

$lim_(n->+oo) (1-\lambda/n)^n=e^(-lambda)$

$lim_(n->+oo) (1-lambda/n)^i=1$

si ottiene:

$P(X=i)~~lambda^i/(i!) e^(-lambda)$

Non mi torna perché si dice "per $n$ molto grande, $p$ molto piccolo e $lambda=np$", quando nella dimostrazione mi sembra di non aver fatto uso dell'ipotesi di '$p$ molto piccolo'

EDIT:

P.S. Ho avuto un'illuminazione $p=lambda/n$ e $p->0$ per $n->oo$

[Lo_zio_Tom]

Serve che $n$ grande e $p$ piccolo in modo che $lambda$ piccolo. La poisson è appunto detta "legge degli eventi rari". Se $lambda=10-15$ diventa una Gaussiana

se hai capito la dimostrazione stop...

[Magma1]

"tommik":se hai capito la dimostrazione stop...

D'accordo