Teoria delle code e somma delle probabilità

[assoluto1]

Ciao a tutti, ho un esercizio di teoria delle code e quello che mi serve è calcolare delle probabilità.
Vi spiego a parole mie cosa mi serve:

"Ho un sistema a coda con una coda singola e due serventi, con arrivi voce di parametri alfa e beta a una coda di dimensione K servita da due serventi con tempo di servizio esponenziale di parametro mu. Quando una sorgente voce e’ attiva genera traffico con tempi di interarrivo esponenziale di parametro lambda.
I serventi sono soggetti a guasti. Ogni servente funziona correttamente per un tempo esponenziale di parametro gamma. Quando si guasta, viene subito iniziata la procedura di riparazione che richiedera’ un tempo esponenziale di parametro delta. Un pacchetto eventualmente in servizio presso il servente guasto verra’ rimesso in coda.
Modellare il sistema con una catena di Markov, disegnando il diagramma delle transizioni di stato, e valutare, inoltre, l’espressione della probabilita’ di perdita della coda."

Ora la modellizzazione l'ho fatta, ed ho anche le singole probabilità di perdita della coda (in teoria delle code per perdita si intende che arriva un nuovo processo ma la coda è piena, e quindi quel processo non viene entra in coda e non verrà mai servito).
Quello che vi chiedo è come devo fare a calcolare la somma delle probabilità. Io infatti conosco la probabilità in cui tutti e due i serventi siano funzionanti, quella in cui solo un servente è funzionante e quella in cui nessuno dei serventi è funzionante. So anche che devo semplicemente sommare queste probabilità, in quanto sono eventi mutuamente escludentesi, ossia si può verificare solo uno di questi eventi alla volta.
La cosa che non so è come devo fare per calcolare, nella probabilità, i tempi di riparazione del guasto.
Vi faccio un esempio per spiegare il mio dubbio: Nel caso in cui i due serventi siano entrambi guasti, la probabilità di perdita della coda è pari a 1 (ossia c'è l'evento certo: se i serventi sono entrambi guasti prima o poi la coda si riempirà, dato che gli arrivi continuano ad esserci). Se sommo quindi le probabilità ho un risultato maggiore di 1:

ho infatti P(entrambi i serventi funzionano) + P(primo servente guasto) + P(secondo servente guasto) + P(entrambi guasti). Ora, siccome P(entrambi guasti) = 1, la somma totale è maggiore di 1, il che ovviamente non è plausibile. Cosa devo fare per ottenere la probabilità corretta? Devo moltiplicare ogni singola probabilità P per il tempo in cui quella probabilità avviene? Oppure devo considerare qualcos'altro?
Grazie mille a tutti!!!!

[Rggb1]

Anche se non è un argomento che conosco bene, c'è qualcosa che vorrei chiarire nel modello generale, perché a naso non mi torna. Siamo sicuri che la p. di perdita con entrambi i server guasti sia 1?

Il dubbio nasce dal fatto che, pur con i server guasti (o solo uno), la p. di ripararli (o almeno uno) in tempo prima che la coda si saturi credo non sia nulla.

[assoluto1]

In effetti hai ragione. Credo che nel risolvere l'esercizio dovrei specificare che la probabilità di perdita con entrambi i serventi guasti TENDA ad 1 se il tempo di riparazione è maggiore del tempo di interarrivo di altri processi in coda, che ne dici? Il punto è che siccome ho il parametro tempo non so bene come calcolalare queste probabilità.
Potrebbe benissimo essere che il tempo di riparazione sia inferiore al tempo di saturazione della coda. Siccome ho solo parametri non saprei come fare degli esempi pratici, dato che le condizioni possibili sono moltissime (oltre al testo che vi ho dato ci sono anche altre condizioni, ossia un interruttore iniziale).
Grazie per la tua risposta, se sai aiutarmi ulteriormente te ne sarò molto grato!

[assoluto1]

Allora, proviamo con quest'altra domanda che dovrebbe essere molto più facile!
devo calcolare la probabilità che nella coda ci siano più di k utenti
quindi posso benissimo dire che è uguale a 1 - $sum$ probabilità che ci siano i utenti, con i che va da zero a k
ora le complicazioni sono due:
1 è che un utente in coda ci arriva solo se l'interruttore iniziale è aperto (nella domanda iniziale non ve l'avevo scritto per non aggiungere problemi)
però qui se non sbaglio potrei benissimo dire che la p(i ) (dove con p(i ) intendo che in coda ci sono i utenti) la devo moltiplicare per la probabilità che l'interruttore sia acceso
è corretto?
complicazione 2: la probabilità che ho scritto sopra ($sum$ che ci siano i utenti) è vera solo nel caso in cui ci siano 2 serventi attivi
mentre nel caso in cui il servente attivo sia solo uno, la sommatoria diventa per i che va da zero a k-1 (perché se il servente è guasto ho uno spazio in meno)
ora quindi, come faccio a calcolare la probabilità totale?
è una probabilità condizionata?
basta fare la somma di queste probabilità?
o c'è altro?
(ho già calcolato anche quant'è la prob che ci sia un servente attivo e la prob che ci siano 2 serventi attivi)

edit: al momento non sto tenendo in considerazione la probabilità che entrambi i serventi siano guasti, semplicemente perché non sono ancora riuscito a calcolarla