Teoria delle code

[Kroldar]

Consideriamo una coda caratterizzata da interarrivi che sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite e tempi di servizio che sono variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite e anche indipendenti dagli arrivi (per semplicità potremmo supporre un numero infinito di posti in coda e la presenza di un solo server). Allora se arrivi e tempi di servizio sono esponenziali, la coda si dice memoryless e si indica con la sigla M/M. Memoryless vuol dire che, se mi trovo in un certo stato (come stato si intende il numero di clienti presenti nel sistema), la probabilità di transitare in un altro stato dipende solo da quale sia lo stato corrente e non da come io ci sia arrivato.

Quello che mi domando è: nelle stesse ipotesi di prima, se le variabili aleatorie in gioco non sono esponenziali, la coda non è più memoryless? non basta il fatto che le variabili aleatorie siano indipendenti e identicamente distribuite a garantire che le transizioni verso gli stati futuri dipendano solo dallo stato presente e non dal passato? Dato che la cosa non mi è chiara, gradirei una spiegazione piuttosto dettagliata.

Grazie mille a chi risponderà.

[Cheguevilla]

Effettivamente direi di si, ma la variabile aleatoria esponenziale ha la proprietà di perdita della memoria.
Per la VA esponenziale vale che: $P(X>=a+b|X>=a)=P(X>=b)$
Che si dimostra così:
$P(X>=a+b|X>=a)=(P(X>=a+b,X>=a))/(P(X>=a))$
Poichè $(X>=a)sube(X>=a+b)$ allora:
$P(X>=a+b,X>=a)=P(X>=a+b)$
$P(X>=a+b|X>=a)=(P(X>=a+b))/(P(X>=a))=(\sum_{i=a+b}^{+oo}p(1-p)^i)/(\sum_{i=a}^{+oo}p(1-p)^i)=$
$=(1-p)^(a+b)/(1-p)^a=(1-p)^b$
Ma $(1-p)^b=P(X>=b)$, poichè $P(X>=b)=sum_(i=b)^(+oo)p(1-p)^i=(1-p)^b$.

Quando si fanno simulazioni in teoria delle code, si utilizzano generatori di numeri casuali, e di solito si dà un po' di warm up in modo da misurare il sistema a regime.
Non sempre si utilizzano funzioni memoryless, ma questo dipende dalla cosa che si intende simulare. In diversi casi, è interessante creare una funzione che possa simulare una sequenza di interarrivi che somigli alla realtà. Ad esempio, in conseguenza dell'arrivo di un treno o di un autobus...