Teoremi centrali

[Hop Frog1]

Vediamo se ho capito bene: esistono 2 teoremi del limite centrale, uno FORTE e uno DEBOLE, detti così perchè uno implica l altro, ovviamente.
FORTE (Semplificando)
Se $X_n$ sono INDIPENDENTI e EQUAMENTE DISTRIBUITE
Allora ->
La media converge QUASI CERTAMENTE
-----
DEBOLE
Se $X_n$ hanno stessa media e varianza
Allora ->
La media converge in PROBABILITA'
Ovviamente qualunque convergenza q.c. -> probabilitaà..
a questo punto mi sorge però un altro dubbio: qual è un controesempio che mostra la differenza?
O meglio, un esempio di insieme di v.a. con stessa media, stessa varianza ma non equamente distribuite?
io un idea ce l avrei, e vorrei sottoporla alla vostra attenzione...
Prendiamo $X_n$ tale che:
1) se n è dispari $X_n$ è il lancio di un dado che associa +1 ad ogni faccia pari e 0 ad ogni faccia dispari
(quindi valore atteso 1/2, giusto?)
2) se n è pari, $X_n$ è il lancio di una moneta, che associa +1 a testa e 0 a croce...
è corretto dire che la successione $X_n$ soddisfa le ipotesi del debole ma non del forte?

[bassi0902]

Nel tuo esempio le variabili sono equamente distribuite, sia nel caso n pari che n dispari hai una Bernoulli di parametro 1/2.

Per pensare ad un controesempio devi proprio usare distribuzioni diverse, con stessa media e varianza, ad esempio

$$
X_n \sim U(0,1) \qquad \qquad
Y_n \sim N(1/2, 1/12)
$$

Se consideri la successione ${X_n, Y_n}$, dovrebbero essere tutte variabili con media 1/2 e varianza 1/12.

[markowitz]

"Hop Frog":Vediamo se ho capito bene: esistono 2 teoremi del limite centrale, uno FORTE e uno DEBOLE, detti così perchè uno implica l altro, ovviamente.
FORTE (Semplificando)
Se $ X_n $ sono INDIPENDENTI e EQUAMENTE DISTRIBUITE
Allora ->
La media converge QUASI CERTAMENTE
-----
DEBOLE
Se $ X_n $ hanno stessa media e varianza
Allora ->
La media converge in PROBABILITA'
Ovviamente qualunque convergenza q.c. -> probabilitaà..

Direi che hai capito male ... stai parlando della legge dei grandi numeri non del teorema del limite centrale.
In tal caso aquista senso ciò che affermi, in sostanza:
forte implica debole
debole non implica forte

Vuoi sapere se ci sono esempi in cui la versione debole regge ma la forte no ?
Ovvero se le condizioni di validità dei due teoremi non sono identiche ?
Ed in particolare quelle della forte più restrittive ?
Direi che deve essere così per forza, altrimenti avremmo due enunciati diversi dello stesso teorema. Allora il debole porterebbe a conclusioni errate/imprecise ... avrebbe, al più, un ruolo solo didattico. Non mi sembra così.

Sulle condizioni di validità però ci andrei cauto. In particolare la finitezza della varianza, nonostante per la versione debole sia rischiesta in alcuni testi probabilmente anche per motivi di semplicità e mi pare che anche tu ti riferisca a questi, non mi sembra strettamente necessaria.
Nel caso lo fosse, basterebbe questa a discriminare facilmente i casi in cui la debole vale ma la forte no (es sequenza estrazioni da una distribuzione t-Student con 2 gradi di libertà).

Non ti sei scelto però un argomento semplice, evitato nella maggior parte dei testi. Comunque guarda qua:
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_la ... strong_law
ci sono due esempi di studiosi che rispondono alla tua domanda.
... come ti dicevo mi sembra un argomento specialistico, non un esercizietto

Comunque la differenza principale non è nel distinguere i casi di validità o meno di una versione o dell'altra ma nel capire ( anche quando entrambi valgono, cioè molto spesso) la portata di ciò che i due teoremi affermano. Come hai detto la differenza sta tra la convergenza in probabilità e quella quasi certa ... non è una differenza trascurabile