Teorema limite centrale
A lezione abbiamo enunciato il teorema del limite centrale, che afferma che, considerata una successione $X_1, X_2,...,X_n$ di variabili aleatorie indipendenti, tutte con lo stesso valore atteso e la stessa varianza (finita), se $n->+oo$ allora la media campionaria di queste v.a. ha una distribuzione che, standardizzata, si può approssimare con una normale $N(0,1)$.
Siccome il nostro non è un corso particolarmente approfondito, mi sono sempre chiesto che senso abbia sapere come si distribuisce la media campionaria se l'ampiezza del campione tende ad infinito: è ovvio che la media campionaria tenda alla media aritmetica della popolazione, cioè la varianza della media campionaria tende a 0 e quindi tutte le medie campionarie che posso calcolare, dato un $n$ di ampiezza "molto grande", saranno infinitamente vicine al valore $\mu$ che voglio stimare.
La cosa che mi lascia perplesso è che questo teorema si possa generalizzare alla somma di infinite variabili aleatorie indipendenti, sempre tutte con la stessa media e la stessa varianza: data $Sn=\sum_{i=1}^n X_i$, avente $E(Sn)=n\mu$ e $Var(Sn)=n(sigma)^2$ (ovviamente $E(X_i)=\mu$ e $Var(X_i)=sigma^2$)
, si ha:
$(Sn - E(Sn))/(sqrt(Var(Sn))) = (Sn - n\mu)/(sigma*sqrt(n))$, se $n->+oo$, tale standardizzata si distribuisce come una $N(0,1)$.
Non riesco a capire il senso di interessarsi ad una distribuzione di una somma infinita di termini, non riesco proprio ad immaginarlo...
Siccome il nostro non è un corso particolarmente approfondito, mi sono sempre chiesto che senso abbia sapere come si distribuisce la media campionaria se l'ampiezza del campione tende ad infinito: è ovvio che la media campionaria tenda alla media aritmetica della popolazione, cioè la varianza della media campionaria tende a 0 e quindi tutte le medie campionarie che posso calcolare, dato un $n$ di ampiezza "molto grande", saranno infinitamente vicine al valore $\mu$ che voglio stimare.
La cosa che mi lascia perplesso è che questo teorema si possa generalizzare alla somma di infinite variabili aleatorie indipendenti, sempre tutte con la stessa media e la stessa varianza: data $Sn=\sum_{i=1}^n X_i$, avente $E(Sn)=n\mu$ e $Var(Sn)=n(sigma)^2$ (ovviamente $E(X_i)=\mu$ e $Var(X_i)=sigma^2$)
, si ha:
$(Sn - E(Sn))/(sqrt(Var(Sn))) = (Sn - n\mu)/(sigma*sqrt(n))$, se $n->+oo$, tale standardizzata si distribuisce come una $N(0,1)$.
Non riesco a capire il senso di interessarsi ad una distribuzione di una somma infinita di termini, non riesco proprio ad immaginarlo...
Risposte
"HowardRoark":
A lezione abbiamo enunciato il teorema del limite centrale, che afferma che, considerata una successione $X_1, X_2,...,X_n$ di variabili aleatorie indipendenti, tutte con lo stesso valore atteso e la stessa varianza (finita),
Non necessariamente identicamente distribuite? Ci sono varie versioni del teorema in giro.
"HowardRoark":
se $n->+oo$ allora la media campionaria di queste v.a. ha una distribuzione che, standardizzata, si può approssimare con una normale $N(0,1)$.
Siccome il nostro non è un corso particolarmente approfondito, mi sono sempre chiesto che senso abbia sapere come si distribuisce la media campionaria se l'ampiezza del campione tende ad infinito: è ovvio che la media campionaria tenda alla media aritmetica della popolazione, cioè la varianza della media campionaria tende a 0 e quindi tutte le medie campionarie che posso calcolare, dato un $n$ di ampiezza "molto grande", saranno infinitamente vicine al valore $\mu$ che voglio stimare.
Ma senza il TLC conosci la media e la varianza, ma NON il fatto che la distribuzione è approssimativamente normale.
"HowardRoark":
Non riesco a capire il senso di interessarsi ad una distribuzione di una somma infinita di termini, non riesco proprio ad immaginarlo...
Lanciamo una moneta infinite volte, una volta per ogni intero positivo. Ogni volta che esce testa, vinciamo $\frac{2}{3^n}$ euro, dove $n$ è il numero del lancio. Alla fine potremmo vincere da un minimo di 0 euro (tutte croci) ad un massimo di 1 euro (tutte teste). Com'è la distribuzione della somma che vinciamo?
"ghira":
Ma senza il TLC conosci la media e la varianza, ma NON il fatto che la distribuzione è approssimativamente normale.
Quindi se n tende ad infinito la distribuzione delle medie campionarie sarà sempre più "schiacciata" nella media aritmetica $\mu$ che sto considerando (la distribuzione non trasla mai perché il suo valore atteso è $\mu$), giusto? Semplicemente il TLC mi dice che questa distribuzione fortemente "schiacciata" si approssima ad una normale, a prescindere dalla distribuzione della popolazione generatrice (se so che la popolazione generatrice si distribuisce come una normale, e quindi $X_1, X_2,....,X_n$ sono tutte normali, per la proprietà riproduttiva io già so che la combinazione lineare di queste variabili aleatorie ha distribuzione normale (ad esempio, per n sufficientemente grande, posso dire che la distribuzione della media campionaria si approssima ad una normale a prescindere dalla mia conoscenza sulla distribuzione della popolazione generatrice).
"ghira":
Lanciamo una moneta infinite volte, una volta per ogni intero positivo. Ogni volta che esce testa, vinciamo $\frac{2}{3^n}$ euro, dove $n$ è il numero del lancio. Alla fine potremmo vincere da un minimo di 0 euro (tutte croci) ad un massimo di 1 euro (tutte teste). Com'è la distribuzione della somma che vinciamo?
La distribuzione della $X$: "numero di volte in cui esce testa" è una binomiale $(oo, 0.5)$, e il TLC mi dice che la distribuzione delle volte in cui esce testa è una normale.
La distribuzione della somma che vinciamo è una somma di infiniti termini che tendono a 0, la prima volta avremo valore atteso $2/3 * 0,5$, la seconda $2/9 * 0,5$ e così via...
Non so quanto faccia questa somma. Però non mi sembra normale, al massimo ha un asintoto orizzontale e quindi tutto meno che simmetrica.
"HowardRoark":
se so che la popolazione generatrice si distribuisce come una normale.
Cosa??
"HowardRoark":
La distribuzione della $X$: "numero di volte in cui esce testa" è una binomiale $(oo, 0.5)$, e il TLC mi dice che la distribuzione delle volte in cui esce testa è una normale.
Cooosa? Con varie "o". Ma ho chiesto della somma vinta, non del numero di teste.
"HowardRoark":
Non so quanto faccia questa somma. Però non mi sembra normale, al massimo ha un asintoto orizzontale e quindi tutto meno che simmetrica.
Lo so che non lo sai. Ti sto chiedendo di considerare la distribuzione di questa somma. I cui valori sono sicuramente fra 0 e 1, in quanto è al massimo 1. Quali valori sono possibili?
"ghira":[/quote]
[quote="HowardRoark"]se so che la popolazione generatrice si distribuisce come una normale.
Cosa??
Ad esempio, voglio studiare la statura dei maschi adulti in Italia. So che la statura si distribuisce come una normale, e quindi se prendo un campione di $n$ persone e ne faccio la media campionaria, anche questa avrà distribuzione normale. Questo non me lo dice il TLC, ma la proprietà riproduttiva della normale. Volevo dire questo.
"HowardRoark":
Ad esempio, voglio studiare la statura dei maschi adulti in Italia. So che la statura si distribuisce come una normale, e quindi se prendo un campione di $n$ persone e ne faccio la media campionaria, anche questa avrà distribuzione normale. Questo non me lo dice il TLC, ma la proprietà riproduttiva della normale. Volevo dire questo.
Ma nel messaggio originale parli del TLC. Che vale per molte distribuzioni di partenza, non solo la normale. Allora perché dici che sai che la distribuzione di partenza è normale? Potrebbe non esserlo. Ecco l'utilità del TLC.
"ghira":
Lo so che non lo sai. Ti sto chiedendo di considerare la distribuzione di questa somma. I cui valori sono sicuramente fra 0 e 1, in quanto è al massimo 1. Quali valori sono possibili?
$0, 2/3, 2/3 + 2/9, ... , 1$.
Però se lancio una moneta infinite volte è chiaro che il valore atteso alla fine sarà 1 (sempre che quella somma faccia 1 per $n->+oo$, non mi sembra scontata come cosa)...
"HowardRoark":
[quote="ghira"]
Lo so che non lo sai. Ti sto chiedendo di considerare la distribuzione di questa somma. I cui valori sono sicuramente fra 0 e 1, in quanto è al massimo 1. Quali valori sono possibili?
$0, 2/3, 2/3 + 2/9, ... , 1$.[/quote]
Su. Fra $0$ e $2/3$ nulla?
"ghira":
[quote="HowardRoark"][quote="ghira"]
Lo so che non lo sai. Ti sto chiedendo di considerare la distribuzione di questa somma. I cui valori sono sicuramente fra 0 e 1, in quanto è al massimo 1. Quali valori sono possibili?
$0, 2/3, 2/3 + 2/9, ... , 1$.[/quote]
Su. Fra $0$ e $2/3$ nulla?[/quote]
Ah è vero, in caso perdessi il primo lancio e vincessi il secondo avrei $2/9$, quindi immagino che le modalità che può assumere questa somma siano tutti i razionali da 0 a 1.
"HowardRoark":
Ah è vero, in caso perdessi il primo lancio e vincessi il secondo avrei $2/9$, quindi immagino che le modalità che può assumere questa somma siano tutti i razionali da 0 a 1.
Immagini?
$1/2$ come lo ottieni?
E perché dici "razionali"? Non si possono ottenere somme irrazionali?
"HowardRoark":
[
Però se lancio una moneta infinite volte è chiaro che il valore atteso alla fine sarà 1 (sempre che quella somma faccia 1 per $n->+oo$, non mi sembra scontata come cosa)...
Cosa stai dicendo? Non ti seguo proprio. Il valore atteso è 1? Vinci sempre tutto? Ma palesemente non vinci sempre tutto.
Che stai a di'?
"ghira":
Immagini?
$1/2$ come lo ottieni?
Per questo ho scritto "immagino"
"ghira":
E perché dici "razionali"? Non si possono ottenere somme irrazionali?
Sono tutte frazioni, come faccio ad ottenere un irrazionale somma di frazioni?
"HowardRoark":
Sono tutte frazioni, come faccio ad ottenere un irrazionale somma di frazioni?
Se scrivi pi greco come $3+1/10+4/100+...$ adesso non è irrazionale perché è una somma di frazioni?
"ghira":
[quote="HowardRoark"][
Però se lancio una moneta infinite volte è chiaro che il valore atteso alla fine sarà 1 (sempre che quella somma faccia 1 per $n->+oo$, non mi sembra scontata come cosa)...
Cosa stai dicendo? Non ti seguo proprio. Il valore atteso è 1? Vinci sempre tutto? Ma palesemente non vinci sempre tutto.
Che stai a di'?[/quote]
Te l'ho scritto, il valore atteso del primo lancio è $2/3 * 0,5$, il valore atteso del secondo lancio è $2/9 * 0,5$ e così via. Se lancio la moneta infinite volte, tutti questi addendi alla fine mi daranno 1, ma a questo punto mi sa che sbaglio perché non ho fatto i limiti di successioni.
Comunque, se $2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^n = 1$, mi sembra chiaro che $2/3 * 0.5 + 2/9 * 0.5 + ... + 2/3^n * 0.5 = 0.5$, e quindi immagino volevi dire che in questo caso la distribuzione di questa somma segue una normale centrata in $0.5$, sbaglio?
"ghira":
[quote="HowardRoark"]
Sono tutte frazioni, come faccio ad ottenere un irrazionale somma di frazioni?
Se scrivi pi greco come $3+1/10+4/100+...$ adesso non è irrazionale perché è una somma di frazioni?[/quote]
Ok, ho capito cosa vuoi dire.
"HowardRoark":
Comunque, se $2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^n = 1$, mi sembra chiaro che $2/3 * 0.5 + 2/9 * 0.5 + ... + 2/3^n * 0.5 = 0.5$, e quindi immagino volevi dire che in questo caso la distribuzione di questa somma segue una normale centrata in $0.5$, sbaglio?
La media è $0.5$, sì. Perché una normale centrata in $0.5$, però? $0.5$ non è nemmeno possibile come valore.
"ghira":
[quote="HowardRoark"]
Comunque, se $2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^n = 1$, mi sembra chiaro che $2/3 * 0.5 + 2/9 * 0.5 + ... + 2/3^n * 0.5 = 0.5$, e quindi immagino volevi dire che in questo caso la distribuzione di questa somma segue una normale centrata in $0.5$, sbaglio?
La media è $0.5$, sì. Perché una normale centrata in $0.5$, però? $0.5$ non è nemmeno possibile come valore.[/quote]
In effetti il valore atteso delle singole bernoulliane nel tuo esempio decresce sempre, mentre per applicare il TLC devo ipotizzare che le singole v.a. indipendenti che compongono la successione abbiano tutte stesso valore atteso.
"HowardRoark":
In effetti il valore atteso delle singole bernoulliane nel tuo esempio decresce sempre, mentre per applicare il TLC devo ipotizzare che le singole v.a. indipendenti che compongono la successione abbiano tutte stesso valore atteso.
Infatti il TLC qui non vale. La distribuzione è molto strana. Ma ecco un esempio di una somma infinita di distribuzioni, che è quello che avevi chiesto.
"ghira":
[quote="HowardRoark"]
In effetti il valore atteso delle singole bernoulliane nel tuo esempio decresce sempre, mentre per applicare il TLC devo ipotizzare che le singole v.a. indipendenti che compongono la successione abbiano tutte stesso valore atteso.
Infatti il TLC qui non vale. La distribuzione è molto strana. Ma ecco un esempio di una somma infinita di distribuzioni, che è quello che avevi chiesto.[/quote]
Ok, ora riesco ad immaginarla più facilmente.
Grazie mille!
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