Teorema Ergodico catene di Markov
Salve ho una questione da proporre, trovandomi a risolvere un esercizio dove va chiaramente utilizzato il teorema ergodico ma sono dubbioso sul ragionamento da fare. Allora la catena di Markov è a tempo continuo con $Q$-matrice $Q$ definita da
\begin{matrix}-3 & 0 & 2&1&0 \\ 0&-2&0&0&2 \\ 4&0&-4&0&0 \\ 1&0&0&-1&0 \\ 0 &3&0&0&-3 \end{matrix}
e distribuzione iniziale $\lambda(0) = ( \frac{1}{2},\frac{1}{2}, 0,0,0)$.
La catena è scomponibile in due classi comunicanti irriducibili che sono $C_0=\{1,3,4\}$ e $C_1 = \{2,5\}$ e mi vengono fuori le distribuzioni invarianti relative rispettivamente alle due classi $C_0$ e $C_1$ che sono
$$\mu_{C_0} = (\frac{3}{5},0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},0) \qquad \mu_{C_1} = (0,\frac{1}{2},0,0,\frac{1}{2})$$
Questo perché poiché la catena non è irriducibile la distribuzione invariante non è unica e quindi devo per forza trovare quelle relative alle varie classi della catena $X_t$
[highlight]L'esercizio mi chiede di dire se è quasi certamente costante questo limite: $\lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^t \mathbb{I}_{\{X_s = 1\} }ds $[/highlight], (dove ho indicato con $\mathbb{I}_{\{ A \} }$ la funzione che vale $1$ se l'evento $A$ è verificato e 0 altrimenti).
Ovviamente serve il teorema ergodico, il problema è che non posso applicarlo direttamente perché la catena non è del tutto irriducibile ma è soltanto scomponibile in classi irriducibili. Io ho pensato a intuito che il limite NON è quasi certamente costante semplicemente perché guardando la distribuzione iniziale, so che posso partire soltanto dagli stati $1$ e $2$ e da entrambi con probabilità $\frac{1}{2}$. Quindi se parto da $1$, allora so che la catena rimane sempre nella classe irriducibile $C_0$ e quindi applicando il teorema ergodico otterrei che il limite vale $\frac{2}{5}$ (che sarebbe la prima componente della distribuzione invariante relativa alla classe $C_0$). Mentre se parto da $2$, allora il limite vale $0$ perché non visiterei mai lo stato $1$. Ora questa cosa intuitivamente ha senso ma non so se è giusta. Avete qualche idea?
\begin{matrix}-3 & 0 & 2&1&0 \\ 0&-2&0&0&2 \\ 4&0&-4&0&0 \\ 1&0&0&-1&0 \\ 0 &3&0&0&-3 \end{matrix}
e distribuzione iniziale $\lambda(0) = ( \frac{1}{2},\frac{1}{2}, 0,0,0)$.
La catena è scomponibile in due classi comunicanti irriducibili che sono $C_0=\{1,3,4\}$ e $C_1 = \{2,5\}$ e mi vengono fuori le distribuzioni invarianti relative rispettivamente alle due classi $C_0$ e $C_1$ che sono
$$\mu_{C_0} = (\frac{3}{5},0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},0) \qquad \mu_{C_1} = (0,\frac{1}{2},0,0,\frac{1}{2})$$
Questo perché poiché la catena non è irriducibile la distribuzione invariante non è unica e quindi devo per forza trovare quelle relative alle varie classi della catena $X_t$
[highlight]L'esercizio mi chiede di dire se è quasi certamente costante questo limite: $\lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^t \mathbb{I}_{\{X_s = 1\} }ds $[/highlight], (dove ho indicato con $\mathbb{I}_{\{ A \} }$ la funzione che vale $1$ se l'evento $A$ è verificato e 0 altrimenti).
Ovviamente serve il teorema ergodico, il problema è che non posso applicarlo direttamente perché la catena non è del tutto irriducibile ma è soltanto scomponibile in classi irriducibili. Io ho pensato a intuito che il limite NON è quasi certamente costante semplicemente perché guardando la distribuzione iniziale, so che posso partire soltanto dagli stati $1$ e $2$ e da entrambi con probabilità $\frac{1}{2}$. Quindi se parto da $1$, allora so che la catena rimane sempre nella classe irriducibile $C_0$ e quindi applicando il teorema ergodico otterrei che il limite vale $\frac{2}{5}$ (che sarebbe la prima componente della distribuzione invariante relativa alla classe $C_0$). Mentre se parto da $2$, allora il limite vale $0$ perché non visiterei mai lo stato $1$. Ora questa cosa intuitivamente ha senso ma non so se è giusta. Avete qualche idea?
Risposte
Non ho mai visto un problema senza una matrice di transizione...confermi che quella è la Q?
"Bokonon":
Non ho mai visto un problema senza una matrice di transizione...confermi che quella è la Q?
Per le catene di Markov a tempo continuo dalla Q matrice è facile trovare la matrice di transizione della catena dei salti
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