Teorema di Newton

[mobley]

Buon pomeriggio ragazzi,

sarò breve. Ho un dubbio sull'applicabilità di questo teorema.
Ho una distribuzione doppia $ ( (j), (i) )e^(-2\lambda)\lambda^j/(j!) $ con $0<=i<=j$ e devo determinare le distribuzioni marginali di $X=i$ e $Y=j$. Ho trovato la distribuzione marginale di $X$ (che è una Poisson di parametro $\lambda$), ma ho qualche difficoltà nel determinare quella di $Y$. Mi rimane $e^(-2\lambda)\lambda^j/(j!)sum_(i=1)^(\infty) ( (j), (i) ) $ e non so come continuare. Avevo pensato di applicare il teorema di Newton scrivendo qualcosa del tipo $sum_(i=1)^(\infty) ( (j), (i) ) 1^i1^(j-i)$ ma rimane il problema pedici, dato che per il teorema la sommatoria inizia da $0$. Avreste qualche suggerimento?

Grazie mille in anticipo!

[orsoulx]

Nell'ipotesi che tutto il resto sia corretto:
$ sum_{i=1}^\infty ((j),(i))= sum_{i=0}^\infty ((j),(i))-((j),(0))=2^j-1$
Ciao

[mobley]

In effetti non ci avevo pensato… grazie!

Però se è così non mi viene… $Y$ dovrebbe distribuirsi come una Poisson di parametro $2\lambda$. C'è quel $-1$ di troppo.

[Lo_zio_Tom]

Beppe!

"orsoulx":Nell'ipotesi che tutto il resto sia corretto:

ipotesi falsa.... a parte che avrebbe dovuto specificare che i e j sono naturali...comunque sommando la congiunta rispetto a $i$ viene

"mobley":con $0<=i<=j$ e devo determinare ....

$sum_(i=0)^(j)((j),(i))=(1+1)^j$ e tutto torna:

$P(J=j)=(e^(-2lambda)(2lambda)^j)/(j!)$; $j=0,1,2,...$

@mobley: se però hai le soluzioni magari puoi anche postarle così fai risparmiare tempo a chi si accinge ad aiutarti

[mobley]

Grazie per la risposta tommik.

Va bene, seguirò il tuo consiglio: d'ora in avanti, per qualsiasi altro dubbio dovessi avere, metterò le soluzioni dall'inizio (sempre che le abbia).

Venendo all'esercizio...
Ho omesso che lo spettro delle due variabili fosse $NN$, ma non credevo fosse necessario ai fini della domanda.

Per quanto riguarda la marginale di $X$, mi viene. Non capisco dove secondo te ho sbagliato.
Per la marginale di $Y$, ho fatto esattamente il tuo stesso calcolo ma "omettendo" per il momento i pedici e "fingendo" che la sommatoria partisse da $0$. Il mio problema è puramente matematico: ho una sommatoria della congiunta che parte da $i=1$ e una sommatoria della binomiale che parte da $i=0$. E non ho capito, analiticamente parlando, perché posso passare dalla sommatoria che parte da 1 a quella che parte da 0 senza dover fare il passaggio che giustamente mi ha indicato orsoulx.

[Lo_zio_Tom]

per quanto riguarda la marginale X non ho detto che hai sbagliato. Non vedo alcuno svolgiment e dato che ti torna non ho nemmeno guardato l'esercizio[nota]è domenica, sono in giro per negozi e faccio i conti a mente, senza carta e penna scrivendo con un minuscolo cellulare[/nota].
Per la marginale Y hai sbagliato ad impostare gli estremi di sommatoria

"mobley":. Mi rimane $e^(-2\lambda)\lambda^j/(j!)sum_(i=1)^(\infty) ( (j), (i) ) $

Quindi non mi pare proprio che tu abbia fatto come me....hai fatto andare la somma da 1 a $oo$ mentre correttamente deve andare da zero a $y$. In questi esercizi l'unica difficoltà è quella di capire quali siano gli estremi di somma / integrazione.


Come tu stesso hai indicato nella traccia, il supporto della variabile doppia è questo

$0<=x<=y
con $X,Y in NN$

quindi per calcolare la marginale di Y sommerai in X e i termini della somma sono proprio $sum_(x=0)^(y)((y),(x))$ che è proprio la definizione della potenza del binomio $(1+1)^y$

"mobley":
Ho omesso che lo spettro delle due variabili fosse $NN$, ma non credevo fosse necessario ai fini della domanda.

E' importante scrivere sempre TUTTO l'esercizio perché chi si accinge a risolvere l'esercizio deve avere tutte le informazioni che hai te...cosa sia importante o meno lo deciderà chi ti aiuta...anche perché se tu non riesci a risolverlo può anche darsi che il tuo giudizio su ciò che è importante o meno ai fini della soluzione non sia affidabile. Non trovi?

ora però, leggendo ciò che hai scritto:

"mobley":
Per la marginale di $Y$, ho fatto esattamente il tuo stesso calcolo ma "omettendo" per il momento i pedici e "fingendo" che la sommatoria partisse da $0$. Il mio problema è puramente matematico: ho una sommatoria della congiunta che parte da $i=1$ e una sommatoria della binomiale che parte da $i=0$. E non ho capito, analiticamente parlando, perché posso passare dalla sommatoria che parte da 1 a quella che parte da 0 senza dover fare il passaggio che giustamente mi ha indicato orsoulx.

... mi pare che tu abbia una grossa confusione su come procedere. L'esercizio è davvero elementare e ce ne sono già diversi sul forum che ho risolto e dettagliatamente spiegato; ecco comunque la soluzione completa:

Data la seguente distibuzione congiunta discreta con $X,Y in NN$

$P_(XY)(x,y)=((y),(x))(e^(-2lambda)lambda^y)/(y!)$ con $0<=x<=y
Calcoliamo le due distribuzioni marginali

Le due variabili $X,Y$ non sono indipendenti ed infatti i due supporti sono interconnessi, uno dipende dall'altro;

La variabile $X$ (fissato $Y=y$) prende i valori $x=0,1,2,...,y$

Mentre la $Y$ (fissato $X=x$) prende i valori $y=x,x+1,x+2,...,oo$

Da ciò emerge che, marginalmente, le due variabili prendono valori in $NN$; con $NN$ intendo ovviamente i valori naturali incluso lo zero. Marginalemente come risultato, ma per raggiungere tale risultato occorre sommare i valori condizionati

La più semplice è quella che dici di non riuscire a calcolare:

$P(Y=y)=e^(-2lambda)(lambda^y)/(y!)sum_(x=0)^(y)((y),(x))=e^(-2lambda)(lambda^y)/(y!)2^y=(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)I_({0,1,2,...oo})(y)~Po(2lambda)$

l'altra[nota]dici che ti torna ma dai commenti che hai scritto faccio fatica a crederci[/nota] viene così

$P(X=x)=e^(-2lambda)sum_(y=x)^(oo)((y),(x))(lambda^y)/(y!)=e^(-2lambda)sum_(y=x)^(oo)(y!)/(x!(y-x)!)(lambda^y)/(y!)=$

$=(e^(-2lambda))/(x!)lambda^xsum_(y-x=0)^(oo)(lambda^(y-x))/((y-x)!)=(e^(-2lambda))/(x!)lambda^xsum_(z=0)^oo(lambda^z)/(z!)=(e^(-2lambda))/(x!)lambda^xe^lambda=(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)I_({0,1,2,...oo})(x)~Po(lambda)$

spero che ciò possa esserti utile; se hai già fatto i conti bene tienila come conferma e comunque sarà utile ad altri utenti per esami elementari di Statistica

[mobley]

Grazie ancora per le tue spiegazioni tommik, è importante sapere di poter trovare sempre un aiuto qui sul forum!

Allora… Sono agli inizi con lo svolgimento degli esercizi, devo ancora digerire per bene la teoria e ne dovrò fare ancora altri per acquisire manualità, ma credevo di aver capito il meccanismo e mi sono limitato ad applicarlo.
Il motivo per cui ho scritto era capire come passare, nel calcolo della marginale di $Y=j$, dalla sommatoria per $i=1$ alla sommatoria per $i=0$ in modo da poter poi applicare il teorema di Newton. Ma mi sbagliavo: non c'era nulla di tutto questo da dover fare.
La marginale di $X$ l'ho trovata più semplice da calcolare perchè non richiedeva cambi di estremi nella sommatoria ma solo di variabili. Dato $S(X)={NN}$ mi sono limitato a scrivere:
$ P(X=i)=sum_(j=i)^(\infty)P(X=i,Y=j)= sum_(j=i)^(\infty)( (j), (i) )e^(-2\lambda) \lambda^j/(j!)=e^(-2\lambda)/(i!)sum_(j=i)^(\infty)\lambda^j/((j-i)!) $ e siccome in altri esercizi svolti si prefigurava l'eventualità di dover essere costretti a ricorrere a MacLaurin e cambi di variabili ho cercato qualche sviluppo che potesse avvicinarsi al mio caso. Quindi ho scritto $t=j-1$ in modo da ritrovarmi al denominatore con un fattoriale che non fosse una differenza. Ne segue $(e^(-2\lambda) \cdot \lambda^i)/(i!)sum_(t=0)^(\infty)\lambda^(t)/(t!)$.

In ogni caso, credo di aver capito. Gli estremi di sommatoria/integrazione sono quelli relativi al supporto della variabile, per cui è fondamentale definire con esattezza lo spettro. Mi sa che le cose si complicheranno non poco, in tema di estremi, dalla convoluzione in poi…

Nota: Capisco che alcuni esercizi possano risultare banali per chi mastica queste cose tutti i giorni, per lavoro studio o soltanto diletto, ma confido comunque nella clemenza di voi più esperti. Dateci tempo

Edit.

[mobley]

"tommik":mi spiace ma la tua soluzione non va bene. Leggi bene ciò che ho scritto e, nel caso vi siano ulteriori dubbi, fammi sapere.

Per calcolare la marginale $X$ devi integrare in Y, ovvero devi integrare da $x$ a $oo$

Ho da poco editato!

[mobley]

Avevo dimenticato di editare anche quella Comunque ora è tutto chiaro, prezioso come sempre tommik!