Teorema di Bayes
Siano U1, U2, U3 urne distinte e numerate. Indichiamo con Ui la generica di queste urne. Ciascuna delle urne contiene i palline Bianche e 4 Rosse.
Si scelga casualmente un'urna e si scartino le altre.
Dall'urna scelta si estragga una pallina.
(a) Quale la probabilità che l'urna scelta sia la U2, osservando che la pallina estratta è bianca?
(b) Si reimmetta la pallina bianca nell'urna. Si effettui dalla medesima urna una successiva estrazione di una pallina. Quale è la probabilità che l'urna sia la U2, osservando che ancora una volta la pallina estratta bianca?
Buongiorno vorrei una mano per risolvere questo problema.
Dagli esercizi che ho fatto pensavo di risolverlo attraverso il Teorema di Bayes, ma non so come trattare le i palline bianche.
Per prima cosa analizzo gli eventi:
E1: {Scelgo la seconda urna}
A: {Estraggo una pallina e questa è bianca}
Quindi:
$ P((E1)/A) = (P(A/(E1)) * P(E1))/(P(A)) $
$ P(E1) = 1/3 $
Potete spiegarmi come procedere. Grazie
Si scelga casualmente un'urna e si scartino le altre.
Dall'urna scelta si estragga una pallina.
(a) Quale la probabilità che l'urna scelta sia la U2, osservando che la pallina estratta è bianca?
(b) Si reimmetta la pallina bianca nell'urna. Si effettui dalla medesima urna una successiva estrazione di una pallina. Quale è la probabilità che l'urna sia la U2, osservando che ancora una volta la pallina estratta bianca?
Buongiorno vorrei una mano per risolvere questo problema.
Dagli esercizi che ho fatto pensavo di risolverlo attraverso il Teorema di Bayes, ma non so come trattare le i palline bianche.
Per prima cosa analizzo gli eventi:
E1: {Scelgo la seconda urna}
A: {Estraggo una pallina e questa è bianca}
Quindi:
$ P((E1)/A) = (P(A/(E1)) * P(E1))/(P(A)) $
$ P(E1) = 1/3 $
Potete spiegarmi come procedere. Grazie
Risposte
Allora, sai che se l'urna estratta è la seconda, allora la probabilità di estrarre la pallina bianca è pari a $2/(2+4)$, quindi $P(A|E1)=1/3$, $P(E1)$ l'hai già trovata. Rimane il denominatore.
Ps: ricontrolla la formula.
Ps: ricontrolla la formula.
La formula sarebbe, ponendo:
$E_i$: scelgo l'urna i-esima
$A$: la pallina estratta è bianca;
Si ha:
$P(E_2|A)=frac{P(A|E_2)*P(E_2)}{\sum_{j=1}^3 P(A|E_j)*P(E_j)}$.
Prova a sviluppare i calcoli cosí.
$E_i$: scelgo l'urna i-esima
$A$: la pallina estratta è bianca;
Si ha:
$P(E_2|A)=frac{P(A|E_2)*P(E_2)}{\sum_{j=1}^3 P(A|E_j)*P(E_j)}$.
Prova a sviluppare i calcoli cosí.
Sviluppando la formula diventa:
$ P(E2|A)=(P(A|E2)⋅P(E2)) / (P(A∣E1)⋅P(E1) + P(A∣E2)⋅P(E2) +P(A∣E3)⋅P(E3)) $
$ P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3 $
Per calcolare $ P(A|E1) $ ( $ P(A|E1) = P(A|E2) = P(A|E3) $ , dato che il numero di palline è lo stesso per ogni urna) dovrei conoscere quante sono le palline bianche.
$ P(A|E1) = (i pall bianche)/(i pall bianche + 4 pall rosse) $
Qui mi perdo perchè non conosco il numero delle palline bianche.
Grazie
$ P(E2|A)=(P(A|E2)⋅P(E2)) / (P(A∣E1)⋅P(E1) + P(A∣E2)⋅P(E2) +P(A∣E3)⋅P(E3)) $
$ P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3 $
Per calcolare $ P(A|E1) $ ( $ P(A|E1) = P(A|E2) = P(A|E3) $ , dato che il numero di palline è lo stesso per ogni urna) dovrei conoscere quante sono le palline bianche.
$ P(A|E1) = (i pall bianche)/(i pall bianche + 4 pall rosse) $
Qui mi perdo perchè non conosco il numero delle palline bianche.
Grazie
L'hai scritto tu. L'urna $U_i$, legata all'evento $E_i$, contiene $i$ palline bianche e 4 rosse.
Ovvio! Scusami non avevo legato il numero delle palline bianche al numero dell'urna.
Grazie.
Grazie.
Di niente 
Volevo chiedere un'ultima cosa, nel caso b) lo spazio campione non cambia, però devo scartare l'urna 1 nella quale ho solo una pallina bianca ( risulta quindi impossibile scartare due palline bianche ).
La formula dovrebbe essere la stessa:
$ P(E2|A)=(P(A|E2)⋅P(E2))/(P(A∣E2)⋅P(E2)+P(A∣E3)⋅P(E3)) $
Dico bene?
Grazie
La formula dovrebbe essere la stessa:
$ P(E2|A)=(P(A|E2)⋅P(E2))/(P(A∣E2)⋅P(E2)+P(A∣E3)⋅P(E3)) $
Dico bene?
Grazie
Beh, se non ho capito male io, tu la rimetti la pallina bianca: quindi ne basta una nell'urna. Cambia la probabilità: non è più di estrarla una volta bianca ($p$), ma due volte ($p^2$?).
ok, devo fare attenzione a questi piccoli dettagli.
Grazie
Grazie
"kobeilprofeta":
Beh, se non ho capito male io, tu la rimetti la pallina bianca: quindi ne basta una nell'urna. Cambia la probabilità: non è più di estrarla una volta bianca ($p$), ma due volte ($p^2$?).
kobe, cosa intendi con $p$, probabilità di estrarla una volta bianca? Il valore al numeratore (ossia una bianca sapendo che peschiamo dall'urna $U_2$) o quello al denominatore (estrazione di una bianca generica)?
@Flaskin Che risultato hai ottenuto, quindi, per il punto b?
Cambiano tutte le probabilità del tipo $A|E_1$: quando calcolavi $P(A|E_i)$ facevi $i/(i+4)$; ora devi fare ($AA i$) $ (i/(i+4))^2$
"dott.ing":
[quote="kobeilprofeta"]Beh, se non ho capito male io, tu la rimetti la pallina bianca: quindi ne basta una nell'urna. Cambia la probabilità: non è più di estrarla una volta bianca ($p$), ma due volte ($p^2$?).
kobe, cosa intendi con $p$, probabilità di estrarla una volta bianca? Il valore al numeratore (ossia una bianca sapendo che peschiamo dall'urna $U_2$) o quello al denominatore (estrazione di una bianca generica)?
@Flaskin Che risultato hai ottenuto, quindi, per il punto b?[/quote]
Se non ho sbagliato i calcoli a) 0.346 b)0.331
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo