Teorema del limite centrale
Il mio dubbio è questo:
(ho dato un'occhiata su internet ma non ho trovato conferme o forse non ho capito)
In sostanza la somma di v.a. iid converge ad una normale eventualmente normalizzabile e fin qui va bene,
se non erro in qualche versione del TLC la "i" di identicità può cadere (a patto che le varianze siano finite),
quindi se sommo
$a_1*X_1+a_2*X_2+...+a_n*X_n \rightarrow N()$, dove le $a_i$ sono costanti, è vera.
O no?
(ho dato un'occhiata su internet ma non ho trovato conferme o forse non ho capito)
In sostanza la somma di v.a. iid converge ad una normale eventualmente normalizzabile e fin qui va bene,
se non erro in qualche versione del TLC la "i" di identicità può cadere (a patto che le varianze siano finite),
quindi se sommo
$a_1*X_1+a_2*X_2+...+a_n*X_n \rightarrow N()$, dove le $a_i$ sono costanti, è vera.
O no?
Risposte
certo!
Gran parte della statistica si fonda su questo risultato.
Gran parte della statistica si fonda su questo risultato.
Ok.
Ma se rilassiamo anche l'altra "i" d'indipendenza e concediamo una dipendenza diciamo debole ?
Per semplicita limitiamoci a relazioni lineari,
se le $X_i$ sono correlate, ma non perfettamente, la convergenza di prima vale ancora?
Direi di si ma chiedo
Ma se rilassiamo anche l'altra "i" d'indipendenza e concediamo una dipendenza diciamo debole ?
Per semplicita limitiamoci a relazioni lineari,
se le $X_i$ sono correlate, ma non perfettamente, la convergenza di prima vale ancora?
Direi di si ma chiedo
Fondamentalmente sì, sia nel caso di indipendenza che dipendenza la media della normale asintotica è la stessa, nel caso di dipedenza andrebbe rivista la varianza....fondamentalmente è equivalente agli algoritmi MCMC (non so se li conosci)
Ho sentito parlare degli MCMC in relazione all’inferenza bayesiana ma non posso dire di conoscerli.
Il punto è proprio sulla varianza che, tipo serie storiche, con correlazione positiva (limitiamoci alla correlazione) aumenta fino a divergere quando la corr è perfetta. In quel contesto l’ergodicità ci garantisce la convergenza dei momenti campionari a quelli teorici. E’ un po come una lege dei grandi numeri in ottica time series.
Ma garantire la convergenza in distribuzione della statistica sopra è un’altra cosa. Non mi sembra di aver mai letto qualcosa del genere a riguardo e leggendo le varie versioni dei TLC, se non erro, mi pare non ve ne sia una dove si lascia cadere l’indipendenza (o anche la correlazione).
Però facendo delle prove mi pare che la convergenza sia vera, ma è solo una conclusione euristica e vorrei conferme teoriche. Puoi aiutarmi?
Il punto è proprio sulla varianza che, tipo serie storiche, con correlazione positiva (limitiamoci alla correlazione) aumenta fino a divergere quando la corr è perfetta. In quel contesto l’ergodicità ci garantisce la convergenza dei momenti campionari a quelli teorici. E’ un po come una lege dei grandi numeri in ottica time series.
Ma garantire la convergenza in distribuzione della statistica sopra è un’altra cosa. Non mi sembra di aver mai letto qualcosa del genere a riguardo e leggendo le varie versioni dei TLC, se non erro, mi pare non ve ne sia una dove si lascia cadere l’indipendenza (o anche la correlazione).
Però facendo delle prove mi pare che la convergenza sia vera, ma è solo una conclusione euristica e vorrei conferme teoriche. Puoi aiutarmi?
NOn ho niente sottomano, magari dopo cerco qualcosa...
Il punto cruciale è la stazionarietà, se una catena è stazionaria allora il suo valor medio sarà corretto...ma la varianza no
Il punto cruciale è la stazionarietà, se una catena è stazionaria allora il suo valor medio sarà corretto...ma la varianza no
@ Sergio
grazie per il link
Come non detto esistono versioni che estendono il TLC al caso di non indipendenza.
A questo punto mancherebbe solo il caso in cui le due "i" cadono assieme permettendo a medie e varianze di variare, ma credo non ci siano particolari problemi.
Solo una precisazione. A volte, come nel link, si parla di variabili standardizzate e a volte di semplici somme.
I risultati sono sempre estendibili alle due rappresentazioni vero?
grazie per il link
Come non detto esistono versioni che estendono il TLC al caso di non indipendenza.
A questo punto mancherebbe solo il caso in cui le due "i" cadono assieme permettendo a medie e varianze di variare, ma credo non ci siano particolari problemi.
Solo una precisazione. A volte, come nel link, si parla di variabili standardizzate e a volte di semplici somme.
I risultati sono sempre estendibili alle due rappresentazioni vero?
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