Teorema del Limite Centrale

[markowitz]

Questo teorema esiste in molte versioni.
La versione di Lindeberg Levy dice in sostanza che un test t converge ad una Normale standard sotto le condizioni di variabili iid a varianze e medie uguali e finite.
La versione di De Moivre Laplace non parte dalla media campionaria dei dati ma dalla somma.
E' in sostanza equivalente, date le facili normalizzazioni, ragionare sulla media o sulla somma ?
Si può dire che, sotto le solite condizioni più o meno generali che siano, il TLC garantisce che la somma di v.a. converge ad una Normale ?

[markowitz]

"Sergio":, comunque la risposta è "ovviamente sì":
\[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\sum_iX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\overset{d}{\to}N(0,1) \]
ovvero, per \( n \) "grande",
\[ \bar{X}\overset{a}{\sim} N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\qquad\qquad \sum_iX_i\overset{a}{\sim} N(n\mu,n\sigma^2) \]

Hai ragione, mi era solo venuto un dubbio perché da una parte vedevo i teoremi sempre riferirsi alla media e poi pensavo all'esempio di v.a. positive che mi suonava strano convergere alla normale come somma, ora sono convinto.

Tra l'altro avevo già in passato aperto un post sul TLC

teorema-del-limite-centrale-t93400.html

da li rinnovo la domanda:
... come non detto esistono versioni che estendono il TLC al caso di non indipendenza.
A questo punto mancherebbe solo il caso in cui le due "i" cadono assieme permettendo a medie e varianze di variare, ma credo non ci siano particolari problemi. E vero?