Tempi di riparazione con esponenziali

mobley
Forse ho capito come fare qualche grafico… Forse :roll:
Studiando il post di @tommik e soprattutto il grafico che ha fatto, ho provato a ragionare graficamente e a impostare gli estremi di integrazione dell'integrale doppio che si ottiene dal seguente problema in base al grafico.

Il tempo di riparazione di un'automobile si distribuisce con legge esponenziale di tasso $1$.
$a)$ Se Andrea porta la sua automobile a riparare al tempo $0$ e Maria porta la sua al tempo $t$, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima di quella di Andrea? (Si supponga che i tempi di riparazione siano indipendenti e che la riparazione inizi appena giunta l'automobile).
$b)$ Se entrambe le automobili vengono portate al tempo $0$ e il meccanico inizierà ad aggiustare l'automobile di Maria non appena avrà aggiustato quella di Andrea, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima del tempo $2$?


Premetto che ancora non ho guardato il punto $b)$: appena avrò chiarito il punto $a)$ seguirà (naturalmente) il resto.
Anzitutto, se $X$ è il tempo di riparazione dell'auto di Andrea e $Y$ è il tempo di riparazione dell'auto di Maria, abbiamo per $X_|_YrArrf(x,y)=e^(-(x+y))\mathbb(I)_[0,+\infty](x,y)$. Allora, per il grafico…



…abbiamo:
$\mathbb(P)(Y

Spero sia giusto (non ho il risultato quindi non so), ma soprattutto spero sia giusto il grafico.

Risposte
Lo_zio_Tom
[-X


1) la distribuzione di Y non è proprio un'esponenziale negativa di parametro 1....dato che non è definita in $y in (0;oo)$ e quindi va modificata...

2) il grafico è giusto a metà....perché la parte di dominio interessata è tutto il triangolo infinito

3) gli estremi di integrazione...aihmé non vanno bene

il punto b) è davvero banale: basta calcolare $mathbb{P}[X+Y<2]$

con X e Y esponenziali indipendenti di parametro uno....sapere la distribuzione somma non mi pare un segreto


NOTA: aldilà del fare giusto o sbagliato....hai trovato che la probabilità è $e^t/2$....che va presto ben oltre uno.....non ti pare strano?

mobley
Ok, forse ci sono. Il dominio è $0
$\mathbb(P)(Y

EDIT: intanto mi concentro sul punto $b)$.

Lo_zio_Tom
ti viene corretto ma mi sa che è un caso....EDIT: il risultato dell'integrale non è quello che hai scritto

Soluzione corretta (secondo me):




La densità del tempo di Maria è $f_Y(y)=e^te^(-x)mathbb{1}_((t;+oo))(y)$

Di conseguenza $mathbb{P}[Y
punto b

$Z=X+Y~ "Gamma"(2;1)$

ovvero

$f_Z(z)=ze^(-z)$; $z>0$

e quindi $mathbb{P}[Z<2]=int_0^2 z e^(-z)dz$

mobley
Grazie per la solita precisione tommik! Avevo già trovato la gamma e sul punto b c'ero.
Ok sul primo punto… Maledetti estremi, maledetti. Essendo il dominio $0

Lo_zio_Tom
"mobley":
Allora:
$\mathbb(P)(Y

.


Questa è davvero una "bufala". All'inizio ho sottovalutato il problema perché il risultato risulta corretto ma davvero stiamo scherzando??

L'integrale non ha alcun senso e, soprattutto, se risolto dà $1/2-e^(-t)/2$

risultato ovviamente errato che, con $t rarr 0$, dice che l'auto di Maria non ha probabilità di essere riparata prima mentre invece dovrebbe essere ovviamente il 50%

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