Tempi di riparazione con esponenziali
Forse ho capito come fare qualche grafico… Forse
Studiando il post di @tommik e soprattutto il grafico che ha fatto, ho provato a ragionare graficamente e a impostare gli estremi di integrazione dell'integrale doppio che si ottiene dal seguente problema in base al grafico.
Premetto che ancora non ho guardato il punto $b)$: appena avrò chiarito il punto $a)$ seguirà (naturalmente) il resto.
Anzitutto, se $X$ è il tempo di riparazione dell'auto di Andrea e $Y$ è il tempo di riparazione dell'auto di Maria, abbiamo per $X_|_YrArrf(x,y)=e^(-(x+y))\mathbb(I)_[0,+\infty](x,y)$. Allora, per il grafico…

…abbiamo:
1) la distribuzione di Y non è proprio un'esponenziale negativa di parametro 1....dato che non è definita in $y in (0;oo)$ e quindi va modificata...
2) il grafico è giusto a metà....perché la parte di dominio interessata è tutto il triangolo infinito
3) gli estremi di integrazione...aihmé non vanno bene
il punto b) è davvero banale: basta calcolare $mathbb{P}[X+Y<2]$
con X e Y esponenziali indipendenti di parametro uno....sapere la distribuzione somma non mi pare un segreto
NOTA: aldilà del fare giusto o sbagliato....hai trovato che la probabilità è $e^t/2$....che va presto ben oltre uno.....non ti pare strano?
Tutor AI

Studiando il post di @tommik e soprattutto il grafico che ha fatto, ho provato a ragionare graficamente e a impostare gli estremi di integrazione dell'integrale doppio che si ottiene dal seguente problema in base al grafico.
Il tempo di riparazione di un'automobile si distribuisce con legge esponenziale di tasso $1$.
$a)$ Se Andrea porta la sua automobile a riparare al tempo $0$ e Maria porta la sua al tempo $t$, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima di quella di Andrea? (Si supponga che i tempi di riparazione siano indipendenti e che la riparazione inizi appena giunta l'automobile).
$b)$ Se entrambe le automobili vengono portate al tempo $0$ e il meccanico inizierà ad aggiustare l'automobile di Maria non appena avrà aggiustato quella di Andrea, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima del tempo $2$?
$a)$ Se Andrea porta la sua automobile a riparare al tempo $0$ e Maria porta la sua al tempo $t$, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima di quella di Andrea? (Si supponga che i tempi di riparazione siano indipendenti e che la riparazione inizi appena giunta l'automobile).
$b)$ Se entrambe le automobili vengono portate al tempo $0$ e il meccanico inizierà ad aggiustare l'automobile di Maria non appena avrà aggiustato quella di Andrea, qual'è la probabilità che l'automobile di Maria sia pronta prima del tempo $2$?
Premetto che ancora non ho guardato il punto $b)$: appena avrò chiarito il punto $a)$ seguirà (naturalmente) il resto.
Anzitutto, se $X$ è il tempo di riparazione dell'auto di Andrea e $Y$ è il tempo di riparazione dell'auto di Maria, abbiamo per $X_|_YrArrf(x,y)=e^(-(x+y))\mathbb(I)_[0,+\infty](x,y)$. Allora, per il grafico…

…abbiamo:
$\mathbb(P)(Y
Spero sia giusto (non ho il risultato quindi non so), ma soprattutto spero sia giusto il grafico.
Spero sia giusto (non ho il risultato quindi non so), ma soprattutto spero sia giusto il grafico.
Risposte

1) la distribuzione di Y non è proprio un'esponenziale negativa di parametro 1....dato che non è definita in $y in (0;oo)$ e quindi va modificata...
2) il grafico è giusto a metà....perché la parte di dominio interessata è tutto il triangolo infinito
3) gli estremi di integrazione...aihmé non vanno bene
il punto b) è davvero banale: basta calcolare $mathbb{P}[X+Y<2]$
con X e Y esponenziali indipendenti di parametro uno....sapere la distribuzione somma non mi pare un segreto
NOTA: aldilà del fare giusto o sbagliato....hai trovato che la probabilità è $e^t/2$....che va presto ben oltre uno.....non ti pare strano?
Ok, forse ci sono. Il dominio è $0
$\mathbb(P)(Y
EDIT: intanto mi concentro sul punto $b)$.
EDIT: intanto mi concentro sul punto $b)$.
ti viene corretto ma mi sa che è un caso....EDIT: il risultato dell'integrale non è quello che hai scritto
Soluzione corretta (secondo me):

La densità del tempo di Maria è $f_Y(y)=e^te^(-x)mathbb{1}_((t;+oo))(y)$
Di conseguenza $mathbb{P}[Y
punto b
$Z=X+Y~ "Gamma"(2;1)$
ovvero
$f_Z(z)=ze^(-z)$; $z>0$
e quindi $mathbb{P}[Z<2]=int_0^2 z e^(-z)dz$
Soluzione corretta (secondo me):

La densità del tempo di Maria è $f_Y(y)=e^te^(-x)mathbb{1}_((t;+oo))(y)$
Di conseguenza $mathbb{P}[Y
punto b
$Z=X+Y~ "Gamma"(2;1)$
ovvero
$f_Z(z)=ze^(-z)$; $z>0$
e quindi $mathbb{P}[Z<2]=int_0^2 z e^(-z)dz$
Grazie per la solita precisione tommik! Avevo già trovato la gamma e sul punto b c'ero.
Ok sul primo punto… Maledetti estremi, maledetti. Essendo il dominio $0
Ok sul primo punto… Maledetti estremi, maledetti. Essendo il dominio $0
"mobley":
Allora:
$\mathbb(P)(Y
.
Questa è davvero una "bufala". All'inizio ho sottovalutato il problema perché il risultato risulta corretto ma davvero stiamo scherzando??
L'integrale non ha alcun senso e, soprattutto, se risolto dà $1/2-e^(-t)/2$
risultato ovviamente errato che, con $t rarr 0$, dice che l'auto di Maria non ha probabilità di essere riparata prima mentre invece dovrebbe essere ovviamente il 50%
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
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