Tempi di arrivo nel processo di Poisson non omogeneo
Ho un processo di Poisson $N(t)$ non omogeneo, con media temporale \(\displaystyle \Lambda(t) \) e firing-rate \(\displaystyle \lambda(t) = d\Lambda(t)/dt \).
Si possono ricavare cdf e pdf del $k$-esimo tempo di arrivo $W_k$ (tempo da $t=0$ all'arrivo $k$-esimo) considerando che
\(\displaystyle F_{W_k}(t) = 1 - P[W_k > t] = 1 - P[N(t) < k] \)
da cui
\(\displaystyle F_{W_k}(t) = 1 - e^{-\Lambda(t)}\sum_{n=0}^{k - 1} \frac{\Lambda^n(t)}{n!} \)
e ancora più concisamente
\(\displaystyle f_{W_k} (t)= \lambda(t) e^{-\Lambda(t)} \frac{\Lambda^{k - 1}(t)}{(k - 1)!} \)
(basta derivare l'espressione di \(\displaystyle F_{W_k}(t) \) e fare un pò di "telescope").
Ora il mio dubbio: se ho una funzione di media temporale (immaginiamola monotona crescente) soggetta a
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \Lambda(t) = \alpha \)
con \(\displaystyle 0 < \alpha < + \infty \), è evidente che
$\lim_{t \to \infty } F_{W_k}(t) = 1 - e^{-\alpha}\sum_{n=0}^{k - 1} \frac{\alpha^n}{n!} \ne 1$
Questo non succede, ad esempio, se \(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \Lambda(t) = + \infty \) come nel caso del processo omogeneo ($\Lambda(t) = \lambda t$). Ho cercato in alcune reference, ma non ho trovato nessuna "magagna" nella mia definizione di $\Lambda(t)$ tale da invalidare il calcolo di $F_{W_k}(t) $.
Qualcuno mi sa illuminare?
Si possono ricavare cdf e pdf del $k$-esimo tempo di arrivo $W_k$ (tempo da $t=0$ all'arrivo $k$-esimo) considerando che
\(\displaystyle F_{W_k}(t) = 1 - P[W_k > t] = 1 - P[N(t) < k] \)
da cui
\(\displaystyle F_{W_k}(t) = 1 - e^{-\Lambda(t)}\sum_{n=0}^{k - 1} \frac{\Lambda^n(t)}{n!} \)
e ancora più concisamente
\(\displaystyle f_{W_k} (t)= \lambda(t) e^{-\Lambda(t)} \frac{\Lambda^{k - 1}(t)}{(k - 1)!} \)
(basta derivare l'espressione di \(\displaystyle F_{W_k}(t) \) e fare un pò di "telescope").
Ora il mio dubbio: se ho una funzione di media temporale (immaginiamola monotona crescente) soggetta a
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \Lambda(t) = \alpha \)
con \(\displaystyle 0 < \alpha < + \infty \), è evidente che
$\lim_{t \to \infty } F_{W_k}(t) = 1 - e^{-\alpha}\sum_{n=0}^{k - 1} \frac{\alpha^n}{n!} \ne 1$
Questo non succede, ad esempio, se \(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \Lambda(t) = + \infty \) come nel caso del processo omogeneo ($\Lambda(t) = \lambda t$). Ho cercato in alcune reference, ma non ho trovato nessuna "magagna" nella mia definizione di $\Lambda(t)$ tale da invalidare il calcolo di $F_{W_k}(t) $.
Qualcuno mi sa illuminare?
Risposte
beh in un caso hai un numero finito di salti e nell'altro caso un numero infinito.
ovvero, roughly speaking, $0<\mathbb{P}(N(\infty)< k) < 1$ questo perchè se $\Lambda(t)$ è il numero medio di salti nell'intervallo $[0,t]$ hai per definizione che $\mathbb{E}(N(t))=\Lambda(t)$.
Dunque $\mathbb{E}(N(\infty))=\Lambda(\infty)<\infty$ (come nel tuo caso in cui $\Lambda(\infty)=\alpha$) e dunque con probabilità uno hai un numero finito di salti su tutto l'asse reale.
In particolare hai che $N(\infty)$ è una v.a. finita quasi certamente, dunque $\mathbb{P}(N(\infty)
Cosa contraria è quando $\mathbb{E}(N(\infty))=\Lambda(\infty)=\infty$, là q.c. hai che $N(\infty)=\infty$ dunque $\mathbb{P}(N(\infty)
questo discorso può essere pensato legato a un renewal process, nel primo caso ne hai uno transiente (e dunque hai un salto di ampiezza infinita a un certo punto e dunque il "punto" $\infty$ ha una probabilità non nulla), nell'altro ricorrente.
Ti torna? Spero di essere stato abbastanza chiaro
Una referenza per i Processi di Punto di Poisson (anzi LA referenza) è il libro "Poisson Point Processes" di Kingman
ovvero, roughly speaking, $0<\mathbb{P}(N(\infty)< k) < 1$ questo perchè se $\Lambda(t)$ è il numero medio di salti nell'intervallo $[0,t]$ hai per definizione che $\mathbb{E}(N(t))=\Lambda(t)$.
Dunque $\mathbb{E}(N(\infty))=\Lambda(\infty)<\infty$ (come nel tuo caso in cui $\Lambda(\infty)=\alpha$) e dunque con probabilità uno hai un numero finito di salti su tutto l'asse reale.
In particolare hai che $N(\infty)$ è una v.a. finita quasi certamente, dunque $\mathbb{P}(N(\infty)
Cosa contraria è quando $\mathbb{E}(N(\infty))=\Lambda(\infty)=\infty$, là q.c. hai che $N(\infty)=\infty$ dunque $\mathbb{P}(N(\infty)
questo discorso può essere pensato legato a un renewal process, nel primo caso ne hai uno transiente (e dunque hai un salto di ampiezza infinita a un certo punto e dunque il "punto" $\infty$ ha una probabilità non nulla), nell'altro ricorrente.
Ti torna? Spero di essere stato abbastanza chiaro
Una referenza per i Processi di Punto di Poisson (anzi LA referenza) è il libro "Poisson Point Processes" di Kingman
Mi torna quello che dici, in effetti pensandoci su ho concluso che sto vedendo un effetto legato all'esaurimento della "supply" che mi può dar luogo ai salti.
Come conseguenza di ciò, ho pensato che dovrei correggere il tutto condizionando sulla supply, che è una variabile aleatoria $S$ di cui conosco la statistica (che non riporto qui):
\(\displaystyle F_{W_k|S}(t) = 1-P[N(t)
Qui non ti ho seguito, forse perché non conosco bene i renewal process e le varie tipologie.
Ti ringrazio per il consiglio. Sai se vengono affrontati problemi di questo tipo? Ad esempio (lo chiedo anche a te), ha senso guardare la statistica che ho riportato sopra? E' possibile calcolare la relativa funzione caratteristica?
Come conseguenza di ciò, ho pensato che dovrei correggere il tutto condizionando sulla supply, che è una variabile aleatoria $S$ di cui conosco la statistica (che non riporto qui):
\(\displaystyle F_{W_k|S}(t) = 1-P[N(t)
"fu^2":
questo discorso può essere pensato legato a un renewal process, nel primo caso ne hai uno transiente (e dunque hai un salto di ampiezza infinita a un certo punto e dunque il "punto" $ \infty $ ha una probabilità non nulla), nell'altro ricorrente.
Qui non ti ho seguito, forse perché non conosco bene i renewal process e le varie tipologie.
"fu^2":
Una referenza per i Processi di Punto di Poisson (anzi LA referenza) è il libro "Poisson Point Processes" di Kingman
Ti ringrazio per il consiglio. Sai se vengono affrontati problemi di questo tipo? Ad esempio (lo chiedo anche a te), ha senso guardare la statistica che ho riportato sopra? E' possibile calcolare la relativa funzione caratteristica?
ma non so cosa sia nel tuo specifico $S$, la "supply"... comunque distribuzioni di un PPP condizionato per esempio ad avere più di $k$-salti, con $k$ fissato penso siano risultati che si trovino in letteratura (sulla referenza che ti ho dato non mi pare che ci siano risultati direttamenti scritti, là è più trattata la teoria di base, dunque cose come la definizione, la struttura geometrica del processo di Poisson, proprietà varie, come trovare la trasformata di Laplace, e il suo legame con processi di Levy, ecc... dunque puoi forse trovare spunto per quel che ti serve )
cosa utile è guardare sulle referenze di Wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Point_process, non le conosco tutte, ma guardando un po' di primo sguardo penso che nelle prime 4 potresti trovare qualche informazione più precisa (poi magari mi sbaglio). Oppure vedere direttamente sulle referenze del PPP di wiki...
)cosa utile è guardare sulle referenze di Wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Point_process, non le conosco tutte, ma guardando un po' di primo sguardo penso che nelle prime 4 potresti trovare qualche informazione più precisa (poi magari mi sbaglio). Oppure vedere direttamente sulle referenze del PPP di wiki...
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